השערת פוליה

הסכום של L(n) עד n = 10⁷.

התחום בו ההשערה אינה נכונה

בתורת המספרים, השערת פוליה, הנקראת על שם ג'ורג' פוליה, אומרת ש"רוב" (50% או יותר) מהמספרים הטבעיים פחות ממספר מסוים, יש להם מספר אי זוגי של גורמים ראשוניים. ההשערה הוצגה על ידי ג'ורג' פוליה ב-1919 והוכחה כשגויה על ידי סי. בריאן הסלגרוב ב-1958. ההשערה הזו היא דוגמה להשערה אשר עובדת עבור מספר גדול של מספרים, אך לא עבור כולם. הדוגמה הנגדית שהציג סי. בריאן הסלגרוב אמורה להיות גדולה יותר מ-1.845 × 10³⁶¹. דוגמה מדויקת הוצגה ב-1960 והיא n = 906,180,359, אך הדוגמה הקטנה ביותר הוצגה ב-1980 והיא n = 906,150,257. ניתן לתאר את ההשערה על פי פונקציית ליוביל בדרך הבאה:

$$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0$$

לכל n > 1 , כאשר λ(k) = (−1)^Ω(k) היא פונקציית ליוביל, ניתן לראות שלפונקציה יש נקודת מקסימום של 829 במספר n = 906,316,571 וההשערה אינה נכונה עבור רוב המספרים בתחום 906,150,257 עד 906,488,079.