זמן בדיד וזמן רציף
במתמטיקה, זמן בדיד וזמן רציף הן שתי גישות בהן ניתן למדל משתנים התלוים בזמן. גישות דומות יכולות להנקט גם עבור משתנים התלויים בגדלים אחרים במקום בזמן - לדוגמה, ממדי המישור (למשל, דגימת תמונות רציפות לפיקסלים).
זמן בדיד
אות בדיד או אותות זמן בדידים הוא סדרה של ערכים המייצגים ערכי אות בנקודות זמן מסוימות. בגישת הזמן הבדיד, ערכם של משתנים מוגדר אך ורק בנקודות זמן מסוימות, או לחלופין, נותר קבוע לאורך פרק זמן מסוים שאינו אפס, כלומר, הזמן נתפס כמשתנה בדיד (דיסקרטי). דוגמה לגישה זו היא שעון דיגיטלי המראה קריאה קבועה של, למשל, השעה 10:37 למשך דקה, ולאחר מכן מראה את השעה 10:38, ללא מעבר בערכי הביניים בין ערכים אלו. בגישה זו, כל משתנה נמדד פעם אחת בכל פרק זמן (השווה לדקה אחת, בדוגמת השעון). מספר המדידות במהלך כל פרק זמן הוא סופי.
לאותות בדידים שונים יש מספר מקורות, אך ניתן בדרך כלל לסווגם לאחת משתי קבוצות:[1]
- על ידי דגימת ערכים של אות אנלוגי בשיעור קבוע או משתנה. תהליך זה נקרא דגימה[2]. כאשר אות זמן בדיד מתקבל על ידי דגימה בזמנים במרווחים אחידים, ניתן לומר כי יש לו קצב דגימה מסוים - הקצב בו נדגם האות הרציף.
- על ידי מדידת תהליך בדיד, כגון ערך השיא השבועי של אינדיקטור כלכלי מסוים.
זמן רציף
זמן רציף רואה משתנים כבעלי ערך מסוים רק בפרק זמן רגעי, או אינפיניטסימלי. הזמן נתפס כמשתנה רציף היות שבין כל שתי נקודות בזמן יש מספר אינסופי של נקודות אחרות בזמן. המשתנה "זמן" נע על פני כל קו המספרים הממשי, או חלק סופי או אינסופי ממנו, כגון המספרים החיוביים.
אות רציף או אות רציף בזמן הוא פונקציה (אות) אשר תחום ההגדרה שלה הוא רצף (למשל, קטע על פני המספרים הממשיים), ולכן אינו קבוצה בת מנייה. התחום עשוי להיות סופי (למשל, 10 שניות של מדידה) או אינסופי. הפונקציה עצמה לא צריכה להיות רציפה. לעומת זאת, תחום ההגדרה של אות זמן בדיד הוא קבוצה בת מנייה, למשל, המספרים הטבעיים.
לאות זמן רציף יהיה ערך כלשהו בכל רגע של זמן המצוי בתחום המדידה. האותות החשמליים מייצגים פעמים רבות כמויות פיזיות בעלות אופי רציף, כגון טמפרטורה, לחץ, צליל ועוד. דוגמאות אחרות לאות רציף הן גל סינוס, גל הקוסינוס, וגל משולש.
דוגמה טיפוסית של אות בעל משך זמן אינסופי היא:
בדיסציפלינות רבות, מקובל שאות רציף חייב תמיד להיות בעל ערך סופי, קונוונציה המתאימה ברוב המקרים לאותות פיזיים.
עבור מטרות מסוימות, ערך אינסופי מקובל כל עוד האות הוא אינטגרבילי (בר סכימה) על כל מרווח סופי.
אות רציף או בדיד מול אות אנלוגי או ספרתי
קוונטיזציה של אות בדיד מאפשרת את אחסונו ועיבודו במערכות ספרתיות, למשל, מחשבים. עם זאת, קיימים אותות בדידים שלא עברו קוונטיזציה ולהפך, ופעולת הקוונטיזציה, ההופכת אות אנלוגי (תקבילי) לאות דיגיטלי (ספרתי), שונה במהותה מפעולת הדגימה, ההופכת אות רציף לאות בדיד.
שימושים
זמן בדיד הוא כלי נוח לעיבוד ומחקר, גם כאשר המשתנה הנחקר הוא רציף מטבעו. לדוגמה, בעוד שהפעילות הכלכלית מתרחשת ברציפות ואין רגע שבו המשק נמצא בהפסקה, נוח יותר למדוד את הפעילות הכלכלית באופן בדיד. מסיבה זו, נתונים המפורסמים על תוצר מקומי גולמי לדוגמה, יציגו סדרה של ערכים תקופתיים, למשל, דו"חות רבעוניים, ולא רצף של ערכים לכל רגע נתון.
כאשר חוקר מנסה לפתח תאוריה שתסביר תצפיות בזמן בדיד, תוצג לעיתים התאוריה בזמן בדיד, על מנת להקל על פיתוחה. מאידך גיסא, לעיתים קל או נכון יותר מתמטית לבנות מודלים תאורטיים בזמן רציף.
כלי שימושי בניתוח זמן בדיד הוא משוואות הפרש. עבור זמן רציף הכלי המקביל הוא משוואות דיפרנציאליות.
ראו גם
הערות שוליים
