משפט הטנגנסים

צלעות, זוויות וקודקודים במשולש

בטריגונומטריה, משפט הטנגנסים הוא משפט מתמטי המציג יחס בין אורך צלעות המשולש לבין טנגנס הזוויות שבו.

עבור משולש ששתיים מצלעותיו הן $a,b$ והזוויות שמולן הן $\alpha ,\beta$ בהתאמה, משפט הטנגנסים קובע כי מתקיים בו היחס הבא:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}}$

היסטוריה

משפט הטנגנסים הובא לראשונה בניסוח מתמטי פורמלי בספרו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט "Variorum de rebus Mathematicis" בשנת 1593, שם גם נוסח משפט הקוסינוסים בצורתו המודרנית. עם זאת, ניסוח מסובך יותר של המשפט ומספר שימושים שלו הופיעו גם בשנת 1583 בספרו של המתמטיקאי הדני תומאס פינק "Geometria Rotundi", שם גם נעשה שימוש במונח "טנגנס" במשמעותו הנוכחית לראשונה. שימושים נוספים למשפט הובאו בשנת 1609 אצל יוהאנס קפלר בספרו "Astronomia Nova" ("האסטרונומיה החדשה").

משפט מקביל בטריגונומטריה ספירית התגלה והוכח כבר לפני כן במאה ה-13 בידי המתמטיקאי ואיש האשכולות הפרסי נסיר א-דין א-טוסי.

הוכחות

שימוש במשפט הסינוסים

1. לפי משפט הסינוסים מתקיים השוויון הבא (כאשר $R$ הוא רדיוס המעגל החוסם של המשולש):

   ${\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\sin(\beta )}}=2R$

2. בהעברת אגפים נקבל שתי משוואות:

   ${\begin{cases}a=2R\sin(\alpha )\\b=2R\sin(\beta )\end{cases}}$

3. כעת נוכל לפתח את הנוסחה הבאה:

   ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2R\sin(\alpha )-2R\sin(\beta )}{2R\sin(\alpha )+2R\sin(\beta )}}={\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\sin(\alpha )+\sin(\beta )}}$

4. נעזר בזהויות הטריגונומטריות של המרת סכום והפרש של שני סינוסים:

   $\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)$

5. נציב את הזהויות בתוצאה (3) ונקבל:

   ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={\frac {\tan \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}}$

בנייה גאומטרית

משפט תאלס

להלן בנייה המוכיחה את המשפט על סמך משפט תאלס המבוססת על הוכחה שהוצגה במגזין "Mathematics Magazine" של איגוד המתמטיקאים האמריקאי:

1. עבור $\triangle ABC$ בו מתקיים $\alpha >\beta$ , נבנה מעגל בו $C$ נקודת המרכז ו-$CB$ הרדיוס, ונסמן את $D$ כהמשך הצלע $AC$ משמאל, את $E$ כהמשך אותה צלע מימין, כך שמתקיים $a=CB=CD=CE$ .
2. בבנייה שביצענו, רואים את התוצאות הבאות:
   1. ${\begin{aligned}AE=CE-CA=a-b\\DA=DC+CA=a+b\end{aligned}}$
   2. $DE$ הוא קוטר במעגל שבנינו. לכן, הזווית הנשענת עליו, היא זווית ישרה, כלומר $\sphericalangle DBE=90^{\circ }$ .
3. נוריד גובה מקודקוד $A$ ב-$\triangle ABE$ ונסמן את נקודת המפגש עם צלע $BE$ ב-$F$ . כלומר: $\sphericalangle AFE=90^{\circ }$ . מכאן $AF\|DB$ .
4. על פי משפט תאלס מתקיים: ${\frac {AE}{DA}}={\frac {FE}{BF}}={\frac {a-b}{a+b}}$
5. ב-$\triangle ABC$ מתקיים: $\sphericalangle ACB=180^{\circ }-(\alpha +\beta )$ . זווית זו היא גם זווית הראש ב-$\triangle BCE$ שווה-השוקיים. לכן מתקיים:
   1. $\sphericalangle CEB=\sphericalangle AEF={\frac {180^{\circ }-\sphericalangle ACB}{2}}={\frac {\alpha +\beta }{2}}$ .
   2. באופן דומה, $\sphericalangle CBE={\frac {\alpha +\beta }{2}}$ ומכאן נקבל $\sphericalangle ABF=\sphericalangle CBE-\beta ={\frac {\alpha -\beta }{2}}$ .
6. על פי תכונות הטנגנס במשולש ישר-זווית מתקיימות המשוואות הבאות:
   1. ב-$\triangle ABF$ מתקיים: $\tan(\sphericalangle ABF)=\tan \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)={\frac {AF}{BF}}$
   2. ב-$\triangle AEF$ מתקיים: $\tan(\sphericalangle AEF)=\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {AF}{FE}}$
   3. מחלוקת משוואות זו בזו נקבל את התוצאה הבאה: ${\frac {FE}{BF}}={\frac {\tan \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}}$
7. על סמך תוצאה (4) נקבל: ${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}{\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}}$

בניות נוספות

קיימות בניות גאומטריות נוספות המוכיחות את המשפט, בין בהסתמכות על דמיון משולשים ובין בהסתמכות על תכונות אחרות כגון משפט חוצה הזווית.

שימושים

כמו משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים, גם במשפט הטנגנסים ניתן להיעזר לפתירת בעיות בהן ידועים רק גודלי שתי זוויות ואורך צלע אחת במשולש (שתי זוויות וצלע), או כאשר ידועים אורכי שתי צלעות וגודל אחת מהזוויות (שתי צלעות וזווית).

בעבר, לפני המצאת המחשבון, היו משתמשים בחוקי הלוגריתמים ובלוחות לוגריתמים על מנת לבצע חישובים במהירות. בשל העובדה כי משפט הקוסינוסים מורכב מפעולות חיבור וחיסור קשה להמיר אותו לצורה לוגריתמית בת-חישוב, ולפיכך השתמשו במשפט הטנגנסים שאת תוצאתו קל לחשב באמצעות הטבלאות.

כיום, לאחר המצאת המחשבון, יותר נוח לבצע חישובים בעזרת משפט הקוסינוסים, ולפיכך השימוש במשפט הטנגנסים אינו רווח כלל.

ראו גם

• משפט הסינוסים
• משפט הקוסינוסים

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0