אי-שוויון מינקובסקי
באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.
בממד סופי
עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \ge 1} , מגדירים את נורמת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { \ell }_{ p }} של וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in \mathbb{R}^n} לפי הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ||\overrightarrow{x}||_{p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{{|{x}_{i}}^{p}|}} } .
אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ||x+y||_{ p }\le ||x||_{ p }+||y||_{ p }} , לכל שני וקטורים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y \in \mathbb{R}^n} .
חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { \ell }_{ p }} מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.
הוכחה
נוכיח את נכונות אי-השוויון.
לפי אי-שוויון המשולש:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { { ||x+y|| }_{ p } }^{ p }=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p } } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }||{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } \le \sum _{ i=1 }^{ n }{ { (|{ x }_{ i }|+|{ y }_{ i }|)\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } =\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ y }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } }
כעת, לפי אי-שוויון הולדר:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ y }_{ i }|\cdot |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p-1 } } \le ({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ [\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ q(p-1) } } ] }^{ \frac { 1 }{ q } }=({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ [\sum _{ i=1 }^{ n }{ { |{ x }_{ i }+{ y }_{ i }| }^{ p } } ] }^{ \frac { p-1 }{ p } }=({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p-1 }}
ולכן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { { ||x+y|| }_{ p } }^{ p }\le ({ ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }){ { ||x+y|| }_{ p } }^{ p-1 }} , ולאחר צמצום נקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle { { ||x+y|| }_{ p } }\le { ||x|| }_{ p }+{ ||y|| }_{ p }} .
בתורת המידה
ערך מורחב – מרחב Lp
בתורת המידה, נורמה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} של פונקציה על מרחב מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (X,S,\mu)} מוגדרת כך - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ||f||_p= (\int_{X}{|f|^pd \mu})^{\frac{1}{p}}} . המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^p(X)} הוא אוסף כל הפונקציות עבורן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ||f||_p < \infty} ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).
באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ||f+g||_p \le ||f||_p +||g||_p} , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=2} מתקבל מרחב הילברט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2(X)} .
המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^p} ; הוא מתקבל עבור המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^p(X_n,P(X_n),\#)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_n=\{ 1,...,n\}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \#} היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).
ראו גם
קישורים חיצוניים
- אי-שוויון מינקובסקי, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
