חוג מקומי רגולרי

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, חוג מקומי רגולרי הוא חוג מקומי נתרי בעל התכונה שמספר היוצרים המינימלי של האידאל המקסימלי שלו שווה לממד קרול שלו. כל חוג מקומי רגולרי הוא תחום פריקות יחידה.

מספר היוצרים המינימלי תמיד חסום מלמטה על ידי ממד קרול. במילים אחרות, אם $A$ חוג מקומי עם אידאל מקסימלי $m$, אז מספר היוצרים של $m$ הוא לפחות המימד $\operatorname {dim} A$, והחוג רגולרי אם אפשר למצוא לאידאל המקסימלי $\ \operatorname {dim} A$ יוצרים. מספר היוצרים המינימלי של $m$ שווה לממד של $m/m^{2}$ כמרחב הווקטורי מעל שדה השאריות $k=A/m$.

חוגים מקומיים רגולרים הוגדרו לראשונה על ידי וולפגנג קרול, אך חשיבותם הרבה התגלתה בעבודתו של אוסקר זריצקי אשר הראה כי מבחינה גאומטרית, חוגים מקומיים רגולרים מתאימים לנקודות חלקות על יריעות אלגבריות: נניח כי $Y$ היא יריעה אלגברית המוכלת במרחב האפיני ה-$n$-ממדי, ונניח כי $Y$ מוגדרת להיות האפסים המשותפים של הפולינומים $f_{1},\cdots ,f_{m}$. אם $P$ נקודה ב $Y$, אומרים כי $Y$ היא לא-סינגולרית ב- $P$ אם מתקיים תנאי היעקוביאן: אם M = (∂f_i/∂x_j) היא מטריצת הנגזרות החלקיות של המשוואות המגדירות את היריעה אז דרגת $M$ שווה ל-$n-dimY$. זריצקי הוכיח כי $Y$ לא סינגולרית בנקודה $P$ אם ורק אם החוג המקומי של $Y$ ב- $P$ הוא חוג מקומי רגולרי. בפרט, נובע מכך כי העובדה שנקודה על יריעה היא חלקה תלויה רק ביריעה עצמה ולא בשיכון זה או אחר שלה במרחב האפיני. כמו כן, עובדה זו מרמזת על כך שלחוגים מקומיים רגולרים יש תכונות "טובות" המקלות על עבודה איתם, אך בטרם הוצגו טכניקות מאלגברה הומולוגית הוכחו רק תוצאות מעטות בכיוון זה. לאחר ששיטות הומולוגיות הומצאו בשנות ה-50 של המאה ה-20, Auslander ו-Buchsbaum הוכיחו כי כל חוג מקומי רגולרי הוא תחום פריקות יחידה.

תכונה נוספת הנובעת מאינטואיציה גאומטרית היא שביצוע לוקליזציה לחוג מקומי רגולרי צריכה לתת חוג מקומי רגולרי. דוגמה לאינטרפרטציה גאומטרית של תכונה זו היא שאם משטח אלגברי מכיל עקום אלגברי, ואם העקום הוא חלק, אז סמוך לעקום גם המשטח הוא חלק. גם תוצאה זו נשארה בלתי פתורה עד להצגתן של שיטות הומולוגיות. ז'אן-פייר סר גילה אפיון הומולוגי של חוגים מקומיים רגולרים: חוג מקומי נתרי $A$ הוא רגולרי אם ורק אם יש לו ממד גלובלי סופי. קל להראות כי התכונה של להיות בעל ממד גלובלי סופי נשמרת תחת לוקליזציה, ולפיכך לוקליזציה של חוג מקומי רגולרי באידאל ראשוני היא שוב חוג מקומי רגולרי. כמו כן, תכונה זו מאפשרת להגדיר את המושג חוג רגולרי עבור חוגים שאינם בהכרח מקומיים: חוג $A$ נקרא רגולרי אם הלוקליזציה שלו בכל אחד מהאידאלים הראשוניים שלו נותנת חוגים מקומיים רגולרים. תכונה זו שקולה לכך של-$A$ ממד גלובלי סופי.

אם $A$ הוא חוג רגולרי אז חוג הפולינומים $\,A[x]$ וחוג טורי החזקות הפורמלים $\,A[[x]]$ גם הם רגולרים.

דוגמאות

• כל שדה הוא חוג מקומי רגולרי. לשדות יש ממד קרול 0, ולמעשה השדות הם בדיוק החוגים המקומיים הרגולרים מממד 0.
• כל תחום הערכה דיסקרטית הוא חוג מקומי רגולרי מממד 1, וגם להפך - כל חוג מקומי רגולרי מממד 1 הוא תחום הערכה דיסקרטית.
• אם $p$ הוא מספר ראשוני, אז חוג השלמים ה-p אדיים הוא דוגמה לתחום הערכה דיסקרטית, ולכן חוג מקומי רגולרי, שאינו מכיל אף שדה.
• באופן כללי, אם k הוא שדה ו- X₁, ..., X_d הם משתנים, אז $\,k[[x_{1},\dots ,x_{d}]]$ הוא חוג מקומי רגולרי מממד קרול d.
• אם $\mathbb {Z}$ הוא חוג המספרים השלמים ו- $X$ הוא משתנה אז החוג $\,{Z[X]}_{(2,X)}$ (הלוקליזציה של חוג הפולינומים עם מקדמים שלמים באידאל זה) הוא דוגמה לחוג מקומי רגולרי מממד 2 שאינו מכיל שדה.