אידיאל (אלגברת לי)
באלגברה מופשטת, אידיאל של אלגברת לי הוא תת-מרחב וקטורי שלה הסגור לפעולה. האידיאלים של אלגברת לי מקבילים לתת חבורות בתורת החבורות ולאידיאלים של חוגים, ומהווים מינוח בסיסי וחשוב בתורת המבנה של אלגברות לי.
הגדרה פורמלית
תהי אלגברת לי מעל שדה . תת-מרחב וקטורי של נקרא אידיאל אם מתקיים , או בשקילות . אם אידיאל של , מסמנים .
![{\displaystyle \forall x\in L,y\in I:[x,y]\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70107a16e3edf51c34ed7c0ba464b635032efbb)
![{\displaystyle [I,L]\subseteq I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67fcd2b9ec58541cd873f2abe9ce940210886be3)
אלגברת לי נקראת פשוטה אם אין לה אידיאלים לא טריוויאליים.
תכונות
- מרחב האפס והמרחב כולו הם אידיאלים.
- המרכז של אלגברת לי הוא אידיאל.
- אידיאל של .
- אם אידיאלים של גם סכומם אידיאל.
![{\displaystyle [L,L]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511d554ba983c44ae3db0e4b4869593ff79b055e)
אלגברת המנה
באותו האופן בו בונים ממרחב מנה של מרחב וקטורי, או חוג מנה, אפשר לבנות גם אלגברת מנה של אלגברת לי באידיאל נתון שלה.
פורמלית, המרחב מסומן על ידי ; כקבוצה הוא שווה למרחב המנה (כמרחב וקטורי), והוא הופך להיות אלגברת לי עם הפעולה , שמוגדרת היטב.
![{\displaystyle [x+I,y+I]=[x,y]+I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c7909da25cc61acfc1de1d9eb302e563b5da11a)
לאחר הגדרה זו, אפשר להגדיר הומומורפיזם אלגברות לי (כך שישמור את הפעולה), ולהוכיח את משפטי האיזומורפיזם, בצורה אנלוגית לחלוטין לזו מתורת החוגים.
ראו גם
לקריאה נוספת
- Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 6-7
