משפט הוויראליות

במכניקה ובייחוד במכניקה אנליטית ובמכניקה סטטיסטית, משפט הוויראליות מקשר בין הממוצע על הזמן של האנרגיה הקינטית של המערכת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle T \right\rangle} , והממוצע על הזמן של האנרגיה הפוטנציאלית ,$\left\langle U\right\rangle$. המשפט קובע שבמערכת שתנועתה סופית, כלומר מערכת בה גם בזמן אינסוף המרחק בין הגופים סופי, ושהאנרגיה הפוטנציאלית שלה היא פונקציה הומוגנית מסדר $\ k$ של הקואורדינטות, אזי: $2\left\langle T\right\rangle =k\left\langle U\right\rangle$.

ניסוח המשפט

נגדיר ממוצע על הזמן של גודל כלשהו: $\ \left\langle f\right\rangle =\lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }f(t)dt$. המשפט קובע שבמערכת בה התנועה מוגבלת לאזור סופי של המרחב לכל זמן, והאנרגיה הפוטנציאלית שלה לא תלויה במהירויות, מתקיים: $2\left\langle T\right\rangle =\sum _{a=1}^{N}\left\langle \mathbf {r} _{a}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{a}}}\right\rangle$. כאשר $\ T$ היא האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת, $\ U$ האנרגיה הפוטנציאלית ו$\mathbf {r} _{a}$ הקואורדינטות המוכללות.

אם האנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית מסדר $\ k$ של הקואורדינטות אזי המשפט מקבל את הצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \left\langle T \right\rangle = k \left\langle U \right\rangle } .

הוכחה

האנרגיה הקינטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T } היא פונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות, לכן על פי משפט אוילר לפונקציות הומוגניות נקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2T = \sum_{a=1}^N \mathbf{v}_a \cdot \frac{\partial T}{\partial \mathbf{v}_a} } .

במערכת מכנית בה האנרגיה הפוטנציאלית לא תלויה במהירויות מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\partial T}{\partial \mathbf{v}_a}= \frac {\partial L}{\partial \mathbf{v}_a}= \mathbf{p}_a } . כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L } הוא הלגראנז'יאן והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{p}_a } הם התנעים המוכללים.

לכן נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2T = \sum_{a=1}^N \mathbf{p}_a \cdot \mathbf{v}_a = \frac {d}{dt} (\sum_{a=1}^N \mathbf{p}_a \cdot \mathbf{r}_a) - \sum_{a=1}^N \mathbf{r}_a \cdot \frac{d \mathbf{p}_a}{dt} } .

נזכור כעת ש: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {d \mathbf{p}_a}{dt} = - \frac {\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} } ולכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2T = \frac {d}{dt} (\sum_{a=1}^N \mathbf{p}_a \cdot \mathbf{r}_a) + \sum_{a=1}^N \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} } .

נסמן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t) = \sum_{a=1}^N \mathbf{p}_a(t) \cdot \mathbf{r}_a(t) } . כעת נבצע ממוצע על פי הזמן עבור האיבר השמאלי בביטוי הימני:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\tau \rarr \infty} \frac{1}{\tau} \int_0^{\tau} \frac {d}{dt} F(t) dt = \lim_{\tau \rarr \infty} \frac {F(\tau)-F(0)}{\tau} =0 } . וזאת משום שהתנועה סופית ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(\tau) } ו $\ F(0)$ סופיים.

לכן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle 2T \right\rangle = 2 \left\langle T \right\rangle = 0 + \left\langle \sum_{a=1}^N \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} \right\rangle = \sum_{a=1}^N \left\langle \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} \right\rangle } .

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ U } היא פונקציה הומוגנית מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} של הקואורדינטות אז על פי משפט אוילר לפונקציות הומוגניות נקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{a=1}^N \mathbf{r}_a \cdot \frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_a} = kU } ולפיכך: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2 \left\langle T \right\rangle = \left\langle kU \right\rangle =k \left\langle U \right\rangle } .

מסקנות ושימושים

בעיית קפלר

ערך מורחב – בעיית קפלר

מסקנה פשוטה של המשפט מתקבלת עבור בעיית קפלר. עבור כח משיכה ניוטוני מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k = -1 } ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \left\langle T \right\rangle = - \left\langle U \right\rangle} ומכאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \left\langle T \right\rangle + \left\langle U \right\rangle= -\left\langle T \right\rangle } . כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E } היא האנרגיה הכוללת של המערכת. מכאן ניתן להסיק שאם תנאי המשפט מתקיימים אזי האנרגיה בהכרח שלילית. כלומר תנועה סופית תתקיים אם ורק אם האנרגיה שלילית. תוצאה זו זהה לתוצאה הידועה לנו מפתרון בעיית קפלר הנותנת תנועה אליפטית או מעגלית אם האנרגיה שלילית. עבור שאר האפשרויות תתקבל תנועה לא סופית.

גלקסיות

ערך מורחב – בעיית המסה החסרה

אם נצפה אזור ביקום שמלא באופן חריג בגלקסיות, ניתן להניח שהגלקסיות הללו נעו ביחד זמן ממושך, ולכן ניתן להפעיל את משפט הוויראליות. כיון שהכוח הפועל הוא כוח משיכה גרביטציוני, מתקיים הקשר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \left\langle T \right\rangle = - \left\langle U \right\rangle } . ממדידות של אפקט דופלר ניתן למצוא את המהירויות היחסיות של הגלקסיות ואז מהפעלת משפט הוויראליות ניתן למצוא את המסה הכוללת של האזור כולל החומר האפל שבו.כאשר ביצע פריץ צוויקי את המדידות האלו בשנת 1933, הוא גילה שהמסה הכוללת של האזור בו צפה גדולה בהרבה מהמסה של החומר הנראה באזור זה. גילוי זה גרם לצוויקי לחזות את קיומו של החומר האפל.

לקריאה נוספת

• L.D. Landau and E.M. Lifshitz. (1960). Mechanics. Pergamon Press
• H. Goldstein. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison–Wesley

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] משפט הוויראליות16163450