חפיפת משולשים

בגאומטריה אוקלידית, שני משולשים נקראים חופפים אם מתקיימת חפיפה (שוויון אורכים) בין כל אחת משלוש צלעותיו של המשולש האחד וכל אחת משלוש צלעותיו של המשולש האחר, ובין כל אחת משלוש זוויותיו של המשולש האחד וכל אחת משלוש זוויותיו של המשולש האחר, בהתאמה. אינטואיטיבית, שני משולשים חופפים הם בעצם שני עותקים שונים של אותו משולש. יחס החפיפה מהווה עידון של יחס הדמיון ושניהם מהווים יחס שקילות. עבור משולשים חופפים אפשר להעתיק את המישור, כאשר העתקה שומרת מרחקים וזויות, כך שמשולש אחד יעבור אל המשולש השני ויכסה אותו במדויק. את החפיפה של משולש שקודקודיו ABC ומשולש שקודקודיו DEF, באופן שמעתיק את A ל-D, את B ל-E ואת C ל-F, מסמנים בצורה: $\triangle \mathrm {ABC} \cong \triangle \mathrm {DEF}$ .

האיור מדגים כיצד ניתן לבנות משולש אחד ויחיד על בסיס שלושה מאפיינים ידועים. במקרה התחתון מימין עבור שתי צלעות והזווית שמול הקטנה מהן ניתן לבנות שני משולשים שונים, ולכן חפיפה אינה מתקיימת בתנאי כזה.

לכל משולש יש שש תכונות בסיסיות המאפיינות אותו: אורכי שלוש הצלעות וגודלי שלוש הזוויות. בגאומטריה האוקלידית מספיקה בדרך כלל ידיעת שלושה מבין גדלים אלה כדי לאפיין את המשולש כולו. עובדה זו באה לידי ביטוי במשפטי החפיפה, המבטיחים, בתנאים מסוימים, ששוויון (בהתאמה) של שלושה גדלים בין שני משולשים מראה כי הם חופפים. באופן כללי, אחד הגדלים מתוך השלושה חייב להיות צלע, כיוון שהצלע קובעת את הפרופורציות של המשולש. לא קיים, אם כן, משפט חפיפה "זווית-זווית-זווית"- משפט זה מצביע על קיום דמיון משולשים.

אם שני משולשים מקיימים את התנאים של אחד ממשפטי החפיפה, אז הם חופפים, ולפיכך כל צלעותיהם וזוויותיהם שוות. להלן משפטי החפיפה, והקיצורים המקובלים לשמותיהם:

שני משולשים השווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שביניהן הם חופפים ("צלע-זווית-צלע", SAS).
שני משולשים השווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שביניהן הם חופפים ("זווית-צלע-זווית", ASA).
שני משולשים השווים זה לזה באורכי צלעותיהם הם חופפים ("צלע-צלע-צלע", SSS).
שני משולשים השווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שמול הצלע הגדולה הם חופפים ("צלע-צלע-זווית", SSA). הזווית צריכה להיות מול הצלע הגדולה דווקא: אחרת המשפט אינו נכון (ראו איור משמאל). עם זאת, המשפט נכון אם מניחים שהזווית מול הצלע הגדולה חדה בשני המשולשים או לא חדה (כלומר קהה או ישרה) בשני המשולשים.

חשוב לדרוש שהגדלים יהיו שווים בהתאמה, משום שאם נוותר על דרישה זו נוכל לקבל דוגמאות לשני משולשים שחמישה מתוך ששת הגדלים שלהם זהים והם עדיין אינם חופפים. לדוגמה, אם צלעות המשולש הראשון הן: 1, 1.1, 1.21, ושל השני: 1.1, 1.21, 1.331, אז הם דומים, ולכן כל שלוש הזויות שוות, אך רק שתיים מהצלעות שוות. מקובל לכנות את הזוויות או הצלעות שזהות במשולשים חופפים "מתאימות".

אלה הם המשפטים הפופולריים. קיימות אפשרויות נוספות להוכיח חפיפת משולשים המסתמכות על גדלים אחרים במשולש. למשל, שני משולשים שיש להם זווית שווה, צלע שמולה וחוצה זווית שאינה הזווית שנתון שהיא השווה - אז המשולשים חופפים.

תקפותם של משפטי החפיפה

משפטי החפיפה אינם ניתנים להוכחה משאר האקסיומות המקובלות של הגאומטריה האוקלידית. עם זאת, הם עצמם שקולים, כלומר ניתן להוכיח בעזרת כל אחד מהם את האחרים. מקובל להניח את המשפט הראשון (צלע זווית צלע) כאקסיומה (למשל במערכת האקסיומות של הילברט הוא מהווה אקסיומה III.5) ובעזרתו ניתן להוכיח את האחרים.

אוקלידס, שספרו "יסודות" היה הראשון שניסה לבסס את הגאומטריה על אקסיומות, הוכיח את המשפט הראשון בצורה שכיום אינה נחשבת לתקפה (היא הסתמכה על מושג "תנועה" שלא הוגדר) אך את שאר המשפטים הוכיח באופן נכון מן המשפט הראשון.

דוגמה להוכחת המשפט השני בעזרת הראשון: נניח שנתונים שני משולשים, ABC ו-'A'B'C, וידוע ש- $AB=A'B',\angle A=\angle A',\angle B=\angle B'$ . נניח בשלילה שהמשולשים אינם חופפים, ואז הצלעות 'AC, A'C אינן שוות (אחרת המשולשים היו חופפים על פי המשפט הראשון) לכן יש נקודה D על צלע AC (או המשכה) כך ש-'AD=A'C. המשולשים ABD ו-'A'B'C חופפים על פי המשפט הראשון, ועל כן $\angle ABD=\angle B'$ . אבל זה לא ייתכן, כי $\angle ABD<\angle B'$ כי היא חלקית לה (בהנחה ש-D בין A ל-C, אחרת הכיוון של האי-שוויון הפוך) סתירה ועל כן המשפט הוכח.