עקרון ד'אלמבר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף עיקרון ד'אלמבר)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

עקרון ד'אַלֶמְבֶּר (D'Alembert), הידוע גם כעקרון לגרנאז'–ד'אלמבר (Lagrange–d'Alembert), הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית. המשפט נקרא על שם מגלהו, הפיזיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר. העיקרון קובע כי סכום ההפרשים בין הכוחות הפועלים על המערכת לבין הנגזרת הזמנית של התנע לאורך כל העתקה וירטואלית המצייתת לאילוצי המערכת, הוא אפס. לפיכך, עקרון ד'אלמבר הוא:

הכוחות המופעלים על המערכת.
ההעתקים הווירטואלים המצייתים לאילוצי המערכת.
מסות החלקיקים במערכת.
תאוצות החלקיקים במערכת.
הנגזרת הזמנית של התנע.

משפט זה הוא המקביל הדינמי למשפט העבודה הווירטואלית והוא כללי יותר מעקרון המילטון, שכן הוא אינו מוגבל למערכות הולונומיות. הגבלה הולונומית היא הגבלה התלויה רק בקואורדינטות ובזמן.

הוכחה

העתקה וירטואלית היא שינוי הקונפיגורציה של המערכת, כך שבניגוד להעתקה אמיתית של המערכת, הנעשית בזמן , העתקה וירטואלית נעשית מידית. כידוע מחוקי ניוטון, סכום הכוחות על חלקיק שווים לנגזרת הזמנית של התנע שלו:

ומכאן נקבל מידית:

קבלת משוואת אוילר-לגראנז'

נבדיל בין כוחות ממשיים לכוחות אילוצים :

כאשר האבר השני אשר עוסק בעבודה וירטואלית אשר מתבצעת על ידי כוחות אילוצים, חייב להתאפס. למשל חלקיק המוגבל לנוע על משטח – כוחות האילוצים פועלים בהכרח בניצב למישור, בעוד ההעתקים הווירטואלים חייבים להיות משיקים לו. הטיפול שלנו לא מתייחס למערכות בהן פועלים כוחות כגון חיכוך לאורך המשטח. למרות זאת במקרים מסוימים, כמו גלגול ללא חיכוך, התנאי של אי קיום עבודה עדיין מתקיים.

אנו רוצים עכשיו לאפס בנפרד את המקדים של כל ההעתקות הווירטואליות, אך קיום האילוצים במערכת כופה תלות בין הקוארדינטות השונות. לכן נרצה לעבור לקוארדינטות מוכללות, בלתי תלויות אחת בשנייה.

נתאר את מעבר הקוארדינטות בעזרת מערכת משוואות:

באופן כללי מספר הקוארדינטות המוכללות שונה ממספר הקוארדינטות הממשיות (כל אילוץ מוריד את מספר הקוארדינטות המוכללות הבלתי־תלויות).

ההעתקה הווירטואלית קשורה להעתקה הווירטואלית על ידי:

על ידי קשר זה נוכל להגדיר את הכוחות המוכללים

שים לב כי היחידות הפיזיקליות של הכוחות המוכללים אינם חייבים להיות של כוח. המגבלה היחידה עליהם היא שהמכפלה שלהם עם הקואורדינטה המוכללת תהיה בעלת יחידות של עבודה.

עוד אבר במשוואה עוסק בעבודה הנעשית על ידי הכוחות המדומים. באופן דומה לכוחות המוכללים:

נוכל לבטא את המהירויות:

נזכור כי אינם תלויים באופן מפורש ב־ ולכן:

בנוסף לכך:

נציב ביטוים אלו באבר התנע ונפתח:

כאשר האנרגיה הקינטית מבוטאת בקואורדינטות המוכללות.

אם הכוח במערכת הוא משמר, ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית סקלרית אשר מקיימת:

לכן בקואורדינטות מוכללות אבר הכוחות נראה כך:

והכוח המוכלל ניתן על ידי:

נסכום את האברים:

כאשר הם העתקים וירטואלים שרירותיים. לכן מתקיים לכל אבר בסכום:

ברוב הבעיות האנרגיה הפוטנציאלית אינה תלויה ב־ . לכן על ידי הוספת אבר שמתאפס נוכל לבטא מחדש את המשוואה:

נגדיר את פונקציית הלגראנז'יאן כ־ ובכך קיבלנו את משוואת אוילר–לגראנז':


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0