תורת התנודות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף תנודה)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
תנודה של דיסקה אלסטית - זהו אופן תנודה אחד מתוך מספר רב של האופנים האפשריים לדיסקה.

בפיזיקה ובניתוח מערכות, תנודה היא שינוי במצב של מערכת לאורך זמן. בדרך כלל המונח מתאר שינוי מחזורי בקירוב. המונחים "ויברציה", "רעידה" או "רטט" משמשים כדי לתאר תנודה מכנית ולעיתים אף משמשים כשם נרדף לתנודה. תנודה מתרחשת לא רק במערכות פיזיקליות אלא גם במערכות ביולוגיות ובמערכות חברתיות.

הגורמים הבסיסיים לניתוח תנודות הם תגובת המערכת (אלסטיות למשל), כוח מאלץ (מתחיל ומקיים את התנודה) וריסון (משכך את התנודה).

ניתן לראות דוגמאות לתנודות בתחומים רבים מאוד. החל מתנודות הגלים בים ועד לתנודות מיתרי הגיטרה. תנודות אלה הן תנודות מרוסנות - כלומר דועכות עם הזמן, ומעבירות את האנרגיה שלהם לאנרגיה תרמית, כלומר לחום. משוואת הגלים היא אחת המשוואות הפשוטות המתארות התקדמות של תנודה במרחב.

אחת התופעות המוכרות בתורת התנודות היא התהודה, שבה מופעל כוח בתדירות השווה לתדירות הטבעית של המערכת. ללא ריסון כלשהו (חיכוך למשל), המערכת מתנודדת יותר ויותר חזק עד להתמוטטות.

במכניקה הקלאסית

תנודות חופשיות - ריסון ויסקוזי

מערכת בעלת מסה M עליה מופעל הכוח F. היא מחוברת באמצעות קפיץ בעל מקדם K ומרסן בעל מקדם C.
גרף של ריסון תת-קריטי. אמפליטודת התנודות בתנאים שונים.

במערכת בעלת דרגת חופש אחת[1], כאשר הכוח F שווה לאפס, ניתן לתאר את משוואת התנועה של המערכת בצד שמאל כך: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M\ddot{x}+C\dot{x}+Kx=0} .

בתורת התנודות נהוג להגדיר שלושה ערכים המבטאים את השפעת התנודה על המערכת:

1. התדירות הטבעית של המערכת המתוארת על ידי n ושווה לשורש היחס בין K ל- M.
2. ריסון קריטי המתואר על ידי cr ושווה לפעמיים שורש של .
3. יחס הריסון המתואר על ידי ושווה ליחס בין C להפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} cr.

למשוואת התנועה, אם כן, ישנם שלושה פתרונות המבטאים התנהגות שונה של המערכת מבחינת תנודות:

1 ו- 2. כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta=>1} - ריסון על קריטי וקריטי. פתרונות משוואת התנועה הם:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=B_1e^{(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}+B_2e^{(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta>1} (ריסון על קריטי)

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=(B_3+B_4t)e^{-\omega_nt}} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta=1} (ריסון קריטי)

3. כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<\zeta<1} - ריסון תת-קריטי - כלומר יש תנודות.

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

הערות שוליים

  1. במערכת בעלת מספר דרגות חופש, משוואת התנועה זהה, אך מיוצגת על ידי הפרמטרים כמטריצות: M - מטריצת המסה, K - מטריצת הקשיחות ו-C - מטריצת הריסון, כך שהמשוואה היאאוסף של מטריצות כפול וקטורי ה-X