התפלגות בטא

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות בטא היא משפחה של התפלגויות רציפות, המוגדרות על הקטע [0,1] ובעלות שני פרמטרים המשפיעים על צורת ההתפלגות: α ו-β. קבוע הנרמול של פונקציית צפיפות ההסתברות הוא פונקציית בטא של הפרמטרים, ומכאן שמה של ההתפלגות.

להתפלגות בטא תפקידים רבים בבחינת התנהגות של משתנים מקריים המוגבלים למרווחים סופיים בדיסציפלינות רבות.

מאפיינים

פונקציית הצפיפות

עבור 0≤x≤1 ועבור הפרמטרים α,β>1, פונקציית הצפיפות של ההתפלגות מוגדרת כך:

f(x;α,β)=xα−1(1−x)β−1∫01uα−1(1−u)β−1du=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−1=1B(α,β)xα−1(1−x)β−1

כאשר Γ(z) היא פונקציית גמא ו-B היא פונקציית בטא.

פונקציית הצפיפות המצטברת

פונקציית הצפיפות המצטברת מוגדרת על ידי הנוסחה:

F(x;α,β)=B(x;α,β)B(α,β)=Ix(α,β)

כאשר B(x;α,β) היא פונקציית הבטא הלא שלמה.

התוחלת

התוחלת של ההתפלגות היא פונקציה של היחס β/α:

μ=E⁡[X]=∫01xf(x;α,β)dx=∫01xxα−1(1−x)β−1B(α,β)dx=αα+β=11+βα

כאשר הפרמטרים שווים, התוחלת שווה ל-1/2, מה שאומר כי במקרה זה ההתפלגות היא סימטרית והתוחלת היא מרכז התפלגות.

השונות

השונות של ההתפלגות מוגדרת כך:

var⁡(X)=E⁡[(X−μ)2]=αβ(α+β)2(α+β+1)

כאשר α=β, השונות היא:

var⁡(X)=14(2α+1),

קישורים חיצוניים


שגיאות פרמטריות בתבנית:ויקישיתוף בשורה
פרמטרי חובה [ שם ] חסרים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא התפלגות בטא בוויקישיתוף
אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=התפלגות_בטא&oldid=1207732"