פירוק QR

באלגברה לינארית ובאנליזה נומרית, פירוק QR הוא פירוק של מטריצה A למכפלה $A=QR$ כאשר המטריצה Q היא מטריצה אורתוגונלית ו-R היא מטריצה משולשית עליונה. ניתן לשים לב שהמטריצה Q מהווה בסיס למרחב הנפרס על ידי העמודות של A. בנוסף בגלל ש-R מטריצה משולשית, k העמודות הראשונות של Q מהוות בסיס למרחב הנפרש על ידי k העמודות הראשונות של A. פירוק QR הינו מקרה פרטי של פרוק יווסווה.

הגדרה פורמלית

עבור מטריצה A מלבנית מרוכבת $A\in M_{m\times n}(\mathbb{ℂ})$ כאשר m ≥ n, קיימת מטריצה אוניטרית Q בגודל $m\times m$ ומטריצה משולשית עליונה R בגודל $m\times n$ (m-n השורות האחרונות הן שורות אפסים) כך ש $A=QR$ .

חישוב הפירוק

אחת הדרכים לקבל פירוק QR היא בתהליך גרם-שמידט, חיסרון של שיטה זו הוא חוסר היציבות הנומרי של תהליך גרם-שמידט. בשביל לפתור את בעיית היציבות, ניתן להשתמש בתהליך גרם-שמידט המשופר או בשיקופי Householder.

לקריאה נוספת

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013), Matrix Computations (4th ed.), Johns Hopkins, מסת"ב 978-1421407944.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.