התכנסות נקודתית

התכנסות נקודתית היא תכונה באנליזה מתמטית של סדרות פונקציות וטורי פונקציות, בה יש התכנסות בכל נקודה של הסדרה או הטור. תכונה זו חלשה יותר מתכונת ההתכנסות במידה שווה של סדרות וטורי פונקציות, ואינה מבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול.

הגדרה

תהי $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרת פונקציות המוגדרת בקטע $I$. אנו אומרים שהסדרה מתכנסת נקודתית ב־$x_0\in I$ אם הסדרה $\{f_n(x_0){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ (זוהי סדרת מספרים ממשיים) מתכנסת. אנו אומרים שסדרת פונקציות מתכנסת נקודתית בקטע $I$ אם היא מתכנסת נקודתית בכל נקודה $x\in I$.

ניתן גם להגדיר את ההתכנסות באמצעות קריטריון קושי להתכנסות הסדרה $\{f_n(x){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ לכל $x$:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\forall }x\in I:\mathrm{\exists }{N}_x>0:\text{such that}\mathrm{\forall }n,m>N_x:|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$

את פונקציית הגבול נסמן ב־$f$ והיא מוגדרת על ידי $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$.

דוגמה

נעיין בסדרת הפונקציות $f_n(x)=x^n$ המוגדרת בקטע $[0,1]$. הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציה:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }0\le x<1\\ 1& \text{if }x=1\end{array}$

פונקציית הגבול אינה רציפה, למרות שכל הפונקציות בסדרה הן רציפות. מכאן שההתכנסות אינה במידה שווה, משום שאם סדרת פונקציות רציפות מתכנסת במידה שווה, הרי גם פונקציית הגבול רציפה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.