מודול מוצלב

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, מודול מוצלב (באנגלית: crossed module) הוא מבנה מתמטי המורכב מ-2 חבורות G ו-H, כאשר G פועלת על H (ניתן לדון במקרה של פעולה שמאלית $(g, h) \mapsto^{g} h = g \cdot h$ או פעולה ימנית $(h, g) \mapsto h^{g} = h \cdot g$ ), ויש הומומורפיזם של חבורות

d : H ⟶ G,

שמכבד את פעולת ההצמדה של G על עצמה

d (^{g} h) = g d (h) g^{- 1}

ומקיים את זהות פייפר (Peiffer):

d (h_{1}) h_{2} = h_{1} h_{2} h_{1}^{- 1}

.

כאשר מגדירים מודול מוצלב עם פעולה ימנית $h^{g} = h ∙ g$ , רושמים במקום:

d (h^{g}) = g^{- 1} d (h) g

וזהות פייפר היא

h_{2}^{d (h_{1})} = h_{1}^{- 1} h_{2} h_{1}

.

דוגמאות

המודול המוצלב הטריוויאלי $i d : G \to G$ הוא מודול מוצלב ימני עם הפעולה $h^{g} = g^{- 1} h g$ ושמאלי עם $g h = g h g^{- 1}$ .
תהי $H < G$ תת-חבורה נורמלית ו- $d : H ↪ G$ הומומורפיזם השיכון. זהו מודול מוצלב (ימני) עם הפעולה $h^{g} = g^{- 1} h g$ . הנורמליות מבטיחה ש- $h^{g} = g^{- 1} h g \in H$ ולכן הפעולה מוגדרת היטב.
$d : H ↠ G$ כאשר d על והגרעין של d מרכזי, כלומר: $\ker (d) \subseteq Z (H)$ .
יהי $d : G \to A u t (G)$ כאשר d שולח כל איבר $g \in G$ לאוטומורפיזם הפנימי $x \mapsto g^{- 1} x g$ בחבורות האוטומורפיזמים $A u t (G)$ , והפעולה היא הפעולה הטבעית של האוטומורפיזם: $h^{g} = [[x \mapsto g^{- 1} x g]] (h) = g^{- 1} h g$ (פעולה ימנית). אזי $d : G \to A u t (G)$ הוא מודול מוצלב (ימני).