השערת גודמן

באנליזה מרוכבת, השערת גודמן היא השערה בדבר המקדמים של פונקציות מולטי-ולנטיות, המכלילה את משפט דה ברנז'. את ההשערה ניסח אדולף וינקלר גודמן, מתמטיקאי שעסק רבות בתורת הפונקציות המולטי-ולנטיות.

ניסוח

תהי $f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{z}^n$ היא פונקציה $p$-ולנטית. ההשערה טוענת כי המקדמים מקיימים:

$|b_n|\le \sum _{k=1}^p\frac{2k(n+p)!}{(p-k)!(p+k)!(n-p-1)!(n^2-k^2)}|b_k|$

תוצאות חלקיות

גודמן ומתמטיקאים רבים הגיעו לתוצאות חלקיות בדבר ההשערה. היא הוכחה למספר משפחות פונקציות ספציפיות, ובמקביל הוכחו חסמים חלשים יותר מהטענה עצמה.

משפט: כאשר $p=2,3$ השערת גודמן נכונה עבור פונקציות מהצורה $P\circ \varphi$ כאשר $P$ הוא פולינום ו-$\varphi$ היא אוניוולנטית.

לקריאה נוספת

• A. W. Goodman, ON SOME DETERMINANTS RELATED TO p-VALENT FUNCTIONS, 1948
• Abdallah Lyzzaik and David Styer, Goodman's Conjecture and the Coefficients of Univalent Functions, Proceedings of the American Mathematical Society, 1978