אינטגרביליות במידה שווה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


אינטגרביליות במידה שווה הוא מושג יסודי באנליזה פונקציונלית ובתורת המידה וההסתברות. המושג משמש רבות בתאוריה של מרטינגלים, וחשיבותו העקרונית באה לידי ביטוי במשפט ההתכנסות של ויטלי.

הגדרה

הגדרה בתורת המידה

יהי מרחב מידה בעל מידה לא טריוויאלית, יהי מרחב הפונקציות המדידות ובעלות אינטגרל סופי במרחב המידה הנתון, ותהי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset L^{1}} משפחה של פונקציות כלשהן.

אומרים כי היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל קיים , כך שלכל , לכל קבוצה המקיימת , מתקיים .

הגדרה בתורת ההסתברות

אם נתרגם את ההגדרה שבתורת המידה למרחב הסתברות , אומרים כי משפחה של משתנים מקריים בעלי תוחלת סופית היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל קיים , כך שלכל הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle X\in {\mathcal {A}}} , לכל מאורע המקיים , מתקיים .

עם זאת, בהקשר של תורת ההסתברות נהוג להוסיף את הדרישה כי התוחלת של כל המשתנים המקריים ב- תהיה חסומה במידה שווה. כלומר שלא רק תהיה סופית, אלא שיהיה חסם כך שלכל יתקיים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {E} \left[X\right]\leq M} .

תחת הדרישה הנוספת לגבי חסימות התוחלות במידה שווה, ניתן להראות כי ההגדרה ההסתברותית לאינטגרביליות במידה אחידה שקולה להגדרה הבאה: משפחה של משתנים מקריים בעלי תוחלת סופית היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל קיים , כך שלכל מתקיים .

הצורה השקולה להגדרה ההסתברותית לאינטגרביליות במידה שווה, מובילה לתוצאה כי אם משפחה של משתנים מקריים היא אכן אינטגרבילית במידה שווה, הרי שלכל קיים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle C>0} כך שמתקיים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|X\right|>C\right)<\epsilon } .[1]

הקשר להתכנסות בממוצע ולהתכנסות בהסתברות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט ההתכנסות של ויטלי

ניתן להראות כי סדרת משתנים מקריים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mathcal {A}}=\left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת בממוצע למשתנה מקרי , אם ורק אם היא מתכנסת בהסתברות לאותו גבול, וגם אינטגרבילית במידה שווה (במובן ההסתברותי).

טענה זו נובעת מידית ממשפט ההתכנסות של ויטלי, והיא למעשה מהווה הכללה של משפט ההתכנסות הנשלטת.

לקריאה נוספת

  • אלן גוט, "Probability: A Graduate Course", פרק 4 ("Uniform Integrability", עמוד 214), ספרינגר, 2005

הערות שוליים

  1. גוט, עמוד 236