המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3
אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון
לכל מספר שלם
ולכל מספר ממשי
. אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה
עולה בזמן שהסדרה
יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי,
, כגבולן המשותף.
תחולה
אי השוויון נכון לכל
ממשי, ובלבד ש-
(את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל
, וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל
(ואף מעט משמאל לנקודה 2-).
הוכחה
עבור
אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון:
.
את המקרה הכללי (היינו
) ניתן להוכיח באינדוקציה:
עבור
מתקיים:
.
נניח את נכונות אי-השוויון עבור
, ונוכיח את נכונותו עבור
(t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש:
, ונוכיח ש-
. נשים לב ש-
ולכן:
. מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים:
, ומכאן:
. הביטוי
חיובי (כי
וגם
) ולכן מתקיים:
.
הכללה
לכל חזקה ממשית
ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל
ולכל

ועבור כל

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.
קישורים חיצוניים
32797935אי-שוויון ברנולי