אי-שוויון הסכומים של צ'בישב

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם ו- הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר .

אי השוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.

הכללות

למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות. למשל,

  • הגרסה המשוקללת: אם הם מספרים חיוביים ו- כמקודם, אז .
  • גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז ; כלומר, בין שתי פונקציות עולות של אותו משתנה מקרי יש מתאם חיובי.
  • הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז .

הוכחת אי-השוויון

מכיוון שהמספרים סדורים באותו כיוון, לכל מתקיים , כלומר הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ a_{i}b_{j}+a_{j}b_{i}\leq a_{i}b_{i}+a_{j}b_{j}} . סיכום לכל i ולכל j נותן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2\sum_i a_i \sum_j b_j=\sum_{i,j}(a_ib_j+a_jb_i) \leq \sum_{i,j}(a_ib_i+a_jb_j) = 2n\sum_{i}a_ib_i} .

ראו גם

לקריאה נוספת

  • The Cauchy-Shwartz Master class, J. Michael Steele, עמ' 76-78.