התולעים של פטרסון

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

התולעים של פטרסון הן משפחה של אוטומטים תאיים אשר הומצאו בשנת 1971 על ידי מייק פטרסון וג'ון הורטון קונוויי כדי לספק מודל לדפוסי התנהגות והאכלה של תולעים פרהיסטוריות מסוימות. במודל, תולעת נעה בין נקודות על רשת משולשת לאורך מקטעי קווים, המייצגים את המזון. פניותיה נקבעות על ידי התצורה של מקטעי קווים שנאכלו ושלא נאכלו בסמוך לנקודה שבה התולעת נמצאת כרגע. למרות שהתולעת נשלטת על ידי כללים פשוטים, ההתנהגות של התולעים יכולה להיות מאוד מורכבת, וגורלה הסופי של גרסה אחת לא ניתן לצפייה מראש.

התולעים נחקרו בשנות ה-70 המוקדמות על ידי פטרסון, קונווי ומייקל בילר, תוארו על ידי בילר ביוני 1973, והוצגו בנובמבר 1973 בטור של מרטין גרדנר "משחקים מתמטיים" בסיינטיפיק אמריקן.

היסטוריה

מסלולי תולעת מאובנים.

התולעים של פטרסון הן ניסיון לחקות את ההתנהגות של תולעים פרהיסטוריות. יצורים אלה אכלו על שקעים בתחתית בריכות ונמנעו מלשחזר את הנתיבים בהם כבר עברו כי מזון היה נדיר שם. אבל, בגלל שהמזון הופיע במקבצים, היה לתולעת סיבה להישאר ליד המסלולים הקודמים. למינים שונים של תולעים היו כללים מולדים שונים בנוגע לאופן שבו הם חיפשו מזון, כמו מתי לפנות, ובאיזו זווית. בשנת 1969 רופ וזיילאכר יצרו סימולציות מחשב של שבילי תולעת המאובנים, וסימולציות אלה היוו השראה לפטרסון וקונווי לפיתוח מערכת פשוטה של כללים ללמידת תולעים ברשתות פשוטות.

המודל המקורי של קונוויי היה תולעת ברשת מאונכת, אבל שיטה זו יוצרת רק שלושה מינים שונים של תולעת, כולם עם התנהגות לא מעניינת. פטרסון חשב ליצור תולעים ברשת משולשת. התולעים של פטרסון תוארו על ידי בילר בתזכיר Al של המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (# 290) והוצגו בחודש נובמבר 1973 בטור של מרטין גרדנר "משחקים מתמטיים" בסיינטיפיק אמריקן, ומאוחר יותר הודפסו מחדש בגרדנר 1986. סימולציות אלה היו שונות מגישת אוטומטים סלולריים שאחרים פיתחו בערך באותו הזמן, שהתמקדו בתאים ומערכות היחסים ביניהם. מודלים ממוחשבים פשוטים כגון אלה מופשטים מכדי לתאר את התנהגותם של היצורים האמיתיים במדויק, אבל הם מראים כי אפילו כללים פשוטים מאוד יכולים להצמיח דפוסים הדומים להתנהגות של בעלי חיים..

חוקים

התולעת מתחילה בנקודה מסוימת על רשת משולשת אינסופית. היא מתחילה לנוע לאורך אחד מששת קווי הרשת שעומדים בכל נקודה, וברגע שהיא עברה יחידה אחת של מרחק, היא מגיעה לנקודה חדשה. בשלב זה מחליטה התולעת, בהיתבסס על חלוקת קווי רשת שהיא חצתה וקווי רשת שהיא לא חצתה, מה הכיוון אליו תמשיך. הכיוונים הם ביחס לנקודת המבט של התולעת. אם התולעת לא נתקלה בנקודה המדויקת הזו לפני כן היא עשויה לעזוב לאורך כל קו רשת שהיא לא חצתה. אם אין קווי רשת לא חצויים זמינים, התולעת מתה והסימולציה מסתיימת.

פירוט

ישנם סוגים רבים ושונים של תולעים, תלוי באיזה כיוון הן פונות כאשר הן נתקלות בנקודה חדשה. הסוגים השונים של התולעים יכולים להיות מסווגים באופן שיטתי על ידי קביעת הכיוון, המספר ורישום הבחירה בכל פעם שהיא פוגשת סוג חדש של צומת.

ששת הכיוונים האפשריים ממוספרים כך שכיוון 0 מציין שהתולעת ממשיכה לנסוע ישר קדימה, כיוון 1 מציין שהתולעת תעשה פניה ימינה של 60 מעלות וכן הלאה. התולעת לא יכולה לנסוע בכיוון 3 כי זה קו הרשת שזה עתה חצה. כך שתולעת עם כלל {1,0,5,1} מחליטה לנסוע בכיוון 1 בפעם הראשונה שהיא בוחרת בנקודה זו, בכיוון 0 בפעם הבאה שהיא בוחרת בנקודה זו וכן הלאה. אם יש רק קו זמין אחד, לתולעת אין ברירה אלא לפנות לקו זה, אם כיכלל זה בדרך כלל לא מופיע באופן מפורש.

תולעת שהכלל שנקבע לה מתחיל עם 0 ממשיכה בקו ישר לנצח. מדובר במקרה של מה בכך, ולכן בדרך כלל נקבע כי התולעת פונה כאשר היא נתקלת בנקודה עם קווי רשת שלא נאכלו בלבד. יתר על כן, כדי למנוע תמונות-ראי, הפנייה הראשונה של התולעת חייבת להיות ימינה. תולעת מתה אם היא חוזרת למקורה בפעם שלישית, כי אז אין לה לאן ללכת. 

יש 1,296 צירופים אפשריים של תולעים. ניתן להוכיח זאת על ידי הטיעונים הבאים:

  1. אם תולעת מגיעה לנקודה ללא קווים שנאכלו, מלבד אותו אחד שהיא אכלה במסע זה, הפנייה ימינה שהיא עושה יכולה להיות חדה ויכולה להיות קהה.
  2. אם היא נתקלת בנקודה עם קטע אכול אחד, היא יכולנ לעזוב דרך כל אחד מארבעת הנותרים. רק החזרה הראשונה של התולעת לנקודת הראשית יוצרת מצב זה.
  3. לנקודה שלה יש שני קוים שכבר נחצו, מיקום הקוים שנחצו הוא חשוב. ישנן ארבע קומבינציות שונות לקוים שנחצו וקו הגישה, שכל אחת מהן מציעה שלוש אפשרויות ליציאה, מה שיוצר 81 חלופות שונות.
  4. אם התולעת מגיע לנקודה בעלת שלושה קווים שנאכלו, היא חייב לבחור בין השתיים שלא נאכלו ללא קשר לחלוקתם.
  5. לנקודה בעלת ארבע קוים שנחצו נשאר רק קו אחד אותו היא חייבת לבחור.

יש אפוא 2 × 4 × 81 × 2 = 1,296 שילובים שונים של כללים.

רבות מאלה הן כפילויות תמונת הראי של אחרות, ואחרות מתות לפני שהן עושות את כל האפשרויות בסט הכללים שלהם, לאחר חיסור כל אלה נישארים 411 מינים שונים (412 אם תולעת הקו ישר האינסופית כלולה). 336 של מינים מתוכן מתות בסופו של דבר. 73 נכנסות לדפוס התנהגות היוצר תערוכה אינסופית, כלומר, הן נכנסות לתוך תבנית חוזרת על עצמה שאינה חוזרת למקור. שתיים נוספות הן סביר להניח אינסופיות, ואחת נשארה בלתי פתורה. עשרה כללים הפגינו התנהגות מורכבת. הן לא מתות גם לאחר מיליארדי רבים של חזרות, והן לא מאמצות דפוס ברור. גורלן לא היה ידוע עד 2003, כאשר בנימין צ'אפין פיתח שיטות חדשות לפתרונן. לאחר שעות רבות של זמן מחשב, תשע מעשרת הכללים נפתרו, כשהן משאירות את התולעים עם כללי {1,0,4,2,0,2,0} ו־{1,0,4,2,0,1,5} כבלתי פתורים היחידים. הראשון נפתר על ידי תומאס רוקיסקי, שקבע כי היא עוצרת אחרי 57,000,000,000,000 צעדים, והשאיר רק את {1,0,4,2,0,1,5} בלתי פתור. לדברי רוקיסקי, התולעת הזו עדיין פעילה לאחר 5.2 × 10^19 צעדים.

זה אפשרי עבור שני מינים שונים של תולעת לייצר אותה הדרך, למרות שהם לא בהכרח יעברו אותה באותו סדר. הדרך הנפוצה ביותר היא גם הקצרה ביותר: "סמל הרדיואקטיביות" המורכב משבע נקודות. דוגמה אחת לדרך זו מוצגת באיור האנימציה לעיל. בסך הכל יש 299 מסלולים שונים ליצירת הסמל, ו-209 מיוצרים על ידי מין אחד.

ראו גם