התמרת לז'נדר

תיאור גרפי של המעבר מהפונקציה F של הפרמטר x לפונקציה G של הפרמטר s. ניתן לראות כי מתקיים G+F = sx.

במתמטיקה, ובמקרים מסוימים בפיזיקה, נרצה לעיתים להציג את המידע הקיים בתלות פונקציונלית $\ F(x)$ , על ידי המשתנה $s=F'\left(x\right)$ , במקום לעשות זאת על ידי המשתנה $\ x$ . בניגוד למעבר הישיר המתקבל על ידי החלפת המשתנה $\ x$ בפונקציה $\ x(s)$ , ניתן לבצע מעבר, אשר עבור פונקציה של משתנה בודד הוא מוגדר באופן הבא:

$G\left(s\right)=sx\left(s\right)-F\left(x\left(s\right)\right)$ (*)

הפונקציה המתקבלת $\ G(s)$ נקראת התמרת לז'נדר (או טרנספורם לז'נדר) של $\ F(x)$ על שם אדריאן-מארי לז'נדר. ניתן לראות את היתרונות של מעבר כזה באופן ברור בתרמודינמיקה, כפי שיפורט בהמשך.

יש לשים לב שאמנם היה אפשר לחשוב שניתן לייצג את המידע ב־ $\ F$ באמצעות הביטוי $F\left(x\left(s\right)\right)$ בלבד, אך בכך למעשה מאבדים חלק מהמידע ב־ $\ F$ כי $\ s$ מוגדר עד כדי תוספת קבוע ל־ $\ x$ . באופן פיזיקלי, כמפורט בהמשך, ההתמרה היא שנותנת את הפונקציה שיכולה לתאר תנאי לשיווי משקל במשתנים החדשים.

ההגדרה של התמרת לז'נדר עבור פונקציה של $\ n$ משתנים היא:

$G\left(s_{1}...s_{l},x_{l+1}...x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{l}{\partial F \over \partial x_{i}}x_{i}-F\left(x_{1}...x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{l}s_{i}x_{i}-F\left(x_{1}...x_{n}\right)$

תכונות של התמרת לז'נדר

סימטריה של ההתמרה – על ידי גזירה של המשוואה (*) לפי $\ s$ (לחלופין אפשר לפי $\ x$ ) מתקבל הקשר:

{dG \over ds}=x\left(s\right)+s{dx \over ds}-{dF \over dx}{dx \over ds}

.

על פי הגדרת

s={dF \over dx},s

, ולכן

{dG \over ds}=x\left(s\right)

.

מתוך המשוואה (*) ומהנגזרות ניתן לראות את הסימטריה של ההתמרה כלומר

F,x\leftrightarrow G,s

.

כתוצאה מסימטריה זו אם נפעיל את הטרנספורם שוב על

\ G

נקבל את

\ F

, כלומר טרנספורם לז'נדר הוא ההפוך של עצמו.^[1]

הטרנספורם קיים רק עבור פונקציות שהנגזרת השנייה שלהם תמיד חיובית או תמיד שלילית (אחרת לא ניתן להגדיר ציר $\ s$ באופן חד ערכי).

דוגמה חישובית

הפונקציה e^x משורטטת באדום והתמרת לז'נדר שלה בכחול מקווקו.

היות ואופרטור הגזירה מותיר את הפונקציה האקספוננציאלית $f(x)=e^{x}$ ללא שינוי, התמרת לז'נדר שלה היא הפונקציה:

f^{*}(s)=s(\ln s-1)

,

שכן הנגזרת הראשונה של $f(x)$ לפי x (שהיא $f(x)$ עצמה) והנגזרת הראשונה של $f^{*}(s)$ לפי s (שהיא $\ln s$ ) הן פונקציות הפוכות אחת של השנייה.

התמרת לז'נדר בפיזיקה

כדי להבין את השימוש בהתמרת לז'נדר בפיזיקה רצוי להסתכל ראשית על בעיה פשוטה של חלקיק הנע תחת השפעת פוטנציאל הנתון על ידי $U\left(x\right)$ ובנוסף מופעל עליו כוח קבוע $\ f$ . ניתן לשאול מהו מיקום שיווי המשקל. התנאי לשיווי משקל הוא התאפסות הכוח הכולל, נזכור שפועל כח $\ f$ ללא תלות בפוטנציאל, ושגרדיאנט הפוטנציאל הוא מינוס הכח שפועל כתוצאה מהפוטנציאל, מכאן שהמיקום יהיה זה שעבורו $\left.{dU \over dx}\right|_{x_{0}}=f$ . מכאן ניתן לבודד את מיקום שיווי המשקל כתלות ב־ $\ f$ : $x_{0}\left(f\right)$ (המיקום בו יתקבל כח $\ -f$ מהפוטנציאל), בהמשך נרצה להימנע משלב הבידוד. לחלופין היה ניתן לדרוש שיווי משקל ב־ $\ x_{0}$ כלשהו ולשאול מהו הכוח שייתן שיווי משקל במיקום זה (כעת המיקום נתון). כוח זה הוא כמובן זה שמקיים את אותה התלות $f=\left.{dU \over dx}\right|_{x_{0}}$ , רק שהפעם התשובה מיוצגת כתלות של $\ f$ ב־ $\ x$ : $=\left.{dU \over dx}\right|_{x_{0}}=f$ $f\left(x_{0}\right)$ . ההבדל בין הביטויים הוא שעבור $x_{0}$ נתון דיי להציבו ב $f\left(x_{0}\right)$ לקבלת הכח הדרוש לקיום ש"מ, ועבור כח $\ f$ נתון נצטרך לחלץ את $x_{0}\left(f\right)$ מתוך $\left.{dU \over dx}\right|_{x_{0}}=f$ . עולה השאלה האם קיימת דרך לקבל משוואה ישירה גם עבור $\ x_{0}$ , כלומר ביטוי מפורש שייתן את $\ x_{0}$ אם נתון $\ f$ . התשובה היא שאכן ניתן, וזהו בדיוק מה שתיתן התמרת לז'נדר של $U\left(x_{0}\right)$ . יש לשים לב שמתייחסים כאן לפרמטר של $\ U$ כמיקום שיווי משקל של החלקיק ולא כמיקום המשתנה בזמן.

נראה כיצד ניתן לקבל את $\ x_{0}$ מתוך ההתמרה. טרנספורם לז'נדר של $U\left(x_{0}\right)$ הוא: $V\left(f\right)=fx_{0}\left(f\right)-U\left(x_{0}\left(f\right)\right)$ .

נגזרת של פונקציה זו נותנת בדיוק את $\ x_{0}$ : ${dV \over df}=x_{0}+f{dx_{0} \over df}-\left.{dU \over dx}\right|_{x_{0}}{dx_{0} \over df}=x_{0}$

(במעבר האחרון השתמשנו בהגדרת $\ f$ ).

יש לשים לב, גם כאשר $\ f$ קבוע ו־ $\ x$ הוא פרמטר חופשי וגם כאשר $\ x$ קבוע ו־ $\ f$ פרמטר חופשי, הפוטנציאל הכולל $\ U(x)+U_{f}$ נמצא במינימום (כאשר $\ U_{f}$ הוא הפוטנציאל הנובע מהכוח $\ f$ ). ניתן לומר שהמידע שמעוניינים לייצג הוא – באילו תנאים מתקבל מינימום של הפוטנציאל הכולל, והוא מוצג בשתי אפשרויות שונות, בכל פעם תחת אילוץ אחר. עם זאת, כמובן שההצגה בעזרת $\ V$ היא שימושית רק אם ניתן לקבל ממנה מידע שיהיה קשה לקבל מתוך $\ U$ .

דוגמה – פוטנציאל הרמוני

עבור פוטנציאל הרמוני $U(x)=-{1 \over 2}kx^{2}$

הכוח הנוסף הדרוש בהינתן שיווי משקל ב־ $\ x_{0}$ : $f=\left.{dU \over dx}\right|_{x_{0}}=-kx_{0}$

מיקום שיווי המשקל בהינתן כוח נוסף $\ f$ :

$\ V(f)=fx_{0}(f)-U(x_{0}(f))=f\left(-{f \over k}\right)-\left(-{1 \over 2}k{f^{2} \over k^{2}}\right)=-{1 \over 2}{f^{2} \over k}$

$x_{0}={dV \over df}=-{f \over k}$

הדוגמה לעיל מובאת כאן רק לצורך ההסבר ואינה מדגימה את השימוש המקובל של התמרת לז'נדר בפיזיקה. השימושיות של התמרת לז'נדר בפיזיקה מוסברת בהמשך.

שימוש במכניקה

במכניקה נהוג פעמים רבות לאפיין מערכת באמצעות ההמילטוניאן שלה שהוא התמרת לז'נדר של הלגראנז'יאן. לפי ההגדרה:

\ H=\sum _{i}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}})=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}})

כאשר $\ H$ הוא ההמילטוניאן, $\ L$ הלגראנז'יאן, $\ q_{i}$ הקואורדינטות המוכללות ו־ $\ p_{i}$ התנעים הצמודים.

ההבדל בין שני הניסוחים הוא שמשוואות התנועה בפורמליזם הלגראנז'יאני, משוואות אוילר-לגראנז', הן משוואות דיפרנציאליות מסדר שני המתארות דינמיקה במרחב הקואורדינטות ה־ $\ n$ ־ממדי, בעוד שמשוואות התנועה הנגזרות מתוך ההמילטוניאן הן משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון המתארות דינמיקה במרחב פאזה $\ 2n$ ־ממדי ( $\ n$ מספר הקואורדינטות המוכללות במערכת). במילים אחרות, אם נקביל למעבר שעשינו מ־ $\ x$ ל־ $\ s$ למעלה, המעבר שבוצע כאן הוא מאילוץ על $\ q_{i}$ ו־ ${\dot {q}}_{i}$ ( $\ q_{i}$ ו־ ${\dot {q}}_{i}$ ידועים), לאילוץ על $\ q_{i}$ ו־ $\ p_{i}$ – נקודת התחלה, הנקבעת במרחב פרמטרים גדול יותר.

לפורמליזם ההמילטוניאני קיים יתרון לעיתים קרובות על פני הפורמליזם הלגנז'יאני, המוקדם יותר, כיוון שבמקרים רבים ההמילטוניאן שווה לאנרגיה של המערכת ולכן הוא מקנה הבנה פיזיקלית עמוקה יותר של המערכת. ניתן גם לקבל את ההמילטוניאן ללא תלות בהגדרת הלגראנז'יאן של המערכת.

שימוש בתרמודינמיקה

סכימה של מערכת מבודדת מהסביבה.

במערכת סגורה ומבודדת מהסביבה (עם קירות אדיאבטיים – אינם מעבירים חום), התנאי לשיווי משקל במערכת הוא שהאנטרופיה מגיעה לערכה המקסימלי האפשרי בתנאי שהאנרגיה והנפח לא משתנים (החוק השני של התרמודינמיקה). בתנאים אלו, ומתוך התנאי לשיווי משקל, הטמפרטורה במערכת ניתנת על ידי $\beta =\left({\partial S \over \partial E}\right)_{V}$ (כאשר $\beta ={1 \over {k_{B}}T}$ ) והיא חייבת להיות זהה בכל חלקי המערכת.

לעומת זאת, מערכת שבה קובעים את הטמפרטורה של המערכת ולא את האנרגיה הכוללת שלה היא קלה הרבה יותר למימוש בניסויים ולכן עולה הצורך למצוא את התנאי לשיווי משקל עבור מערכת כזו. אפשר לדמיין מערכת כזו כמערכת סגורה אך מצומדת לאמבט חום (בעזרת קירות דיאתרמיים – מעבירים חום) שמחייב אותה להגיע לטמפרטורה של האמבט (לדוגמה כוס תה מכוסה העומדת באוויר). באמבט הכוונה למערכת גדולה מאוד יחסית למערכת A כך שהחלפת אנרגיה עם המערכת A לא יכולה לגרום לשינוי טמפרטורה באמבט. המערכת הכוללת (אמבט + מערכת) היא מערכת סגורה ובמערכת כזו, מתוך הדרישה לשיווי משקל – מקסימום אנטרופיה (כוללת), חייב להתקיים שהטמפרטורה בכל המערכת שווה, לכן יתבצע מעבר חום בין המערכת לאמבט עד אשר הטמפרטורה תשתווה לזו של האמבט (וכוס התה תתקרר).

סכימה של מערכת ואמבט חום המופרדים ביניהם על ידי קיר דיאתרמי.

השאלה הנשאלת היא – במערכת כזו בה ידועה הטמפרטורה, כיצד נוכל לדעת למה שווים הפרמטרים האחרים של המערכת כאשר היא מגיעה לשיווי משקל? בצורה מדויקת השאלה היא זו: ידוע כיצד לנסח את התנאי לשיווי משקל עבור המערכת הכוללת כי ידוע שהאנטרופיה הכוללת (של המערכת המבודדת A+Bath) צריכה להגיע לערך מקסימלי, אבל היינו רוצים לנסח תנאי לשיווי משקל הכולל פרמטרים ידועים של המערכת בלבד (במקרה הזה הנפח והטמפרטורה) במערכת הלא מבודדת A.

באמצעות הקשר בין תנאי שיווי משקל לטרנספורם לז'נדר אפשר להראות שהתנאי של מקסימום האנטרופיה של המערכת הכוללת גורר את התנאי שהפונקציה ${\tilde {F}}\left(\beta ,V\right)$ של המערכת $\ A$ מגיעה למינימום, כאשר ${\tilde {F}}$ היא: ${\tilde {F}}(\beta ,V)=\beta E-{\tilde {S}}$

יש לציין שנעשה כאן שימוש באנטרופיה חסרת יחידות ${\tilde {S}}={S \over k_{B}}$ כיוון שכך הסימטריה בין הפונקציות להתמרות לז'נדר שלהן נראית באופן ברור. נראה שעבור פונקציה זו בדיוק מתקיים $E=\left({\partial {\tilde {F}} \over \partial \beta }\right)_{V}$ , באופן זהה למה שהפונקציות $\ U$ ו־ $\ V$ קיימו במקרה של חלקיק יחיד.

הוכחה:

מצד אחד הדיפרנציאל השלם של המערכת הוא

$d{\tilde {F}}(\beta ,V)=\beta dE+Ed\beta -d{\tilde {S}}=\beta (TdS-PdV)+Ed\beta -d{\tilde {S}}=dS/k_{B}-\beta PdV+Ed\beta -d{\tilde {S}}=-\beta PdV+Ed\beta$

מצד שני, על פי הגדרת הדיפרנציאל השלם של פונקציה מרובת משתנים:

$d{\tilde {F}}(\beta ,V)=\left({\partial {\tilde {F}} \over \partial \beta }\right)_{V}d\beta +\left({\partial {\tilde {F}} \over \partial V}\right)_{\beta }dV$

מהשוואת מקדמים ניתן לראות כי

$\left({\partial {\tilde {F}} \over \partial \beta }\right)_{V}=E$

לכן ${\tilde {F}}$ היא אכן הפונקציה, שבמערכת עם $\ \beta ,V$ קבועים הנגזרת החלקית שלה ביחס ל־ $\ \beta$ נותנת את האנרגיה. זו בדיוק התכונה שצריכה לקיים הפונקציה שהיא התמרת לז'נדר של $\ S(E,V)$ ביחס למשתנה $\ E$ , ואכן, על פי הגדרת הטרנספורם,

${\tilde {F}}(\beta ,V)=E\left({\partial {\tilde {S}} \over \partial E}\right)_{V}-{\tilde {S}}(E\beta ,V),V)=E\beta -{\tilde {S}}$

(כאשר הזהות $\beta (E)=\left({\partial S \over \partial E}\right)_{V}$ ידועה מהניתוח של מערכת מבודדת).

יש לציין שבתרמודינמיקה נהוג להשתמש בגודל בעל היחידות של אנרגיה $\ F={\tilde {F}}(\beta ,V)/\beta$ והוא נקרא האנרגיה החופשית של הלמהולץ (גם נחזיר את היחידות של $\ S$ ): $\ F(T,V)=E(T,V)-TS(T,V)$

כאשר מעוניינים להציג את תנאי שיווי המשקל במערכת עם לחץ $\ P$ וטמפרטורה $\ T$ קבועים, ניתן לבצע התמרת לז'נדר של $\ S$ גם ביחס ל־ $\ V$ :

${\tilde {G}}(T,P)=V\left({\partial {\tilde {S}} \over \partial V}\right)_{E}+E\left({\partial {\tilde {S}} \over \partial E}\right)_{V}-{\tilde {S}}(E(\beta ,P),V(\beta ,P))=V{1 \over k_{B}T}P+E{1 \over k_{B}T}-{\tilde {S}}$

$\Rightarrow G=k_{B}T{\tilde {G}}=E-TS+PV$

זו נקראת האנרגיה החופשית של גיבס.

כדי לקבל את פונקציית שיווי המשקל כתלות ב־ $\ S$ ו־ $\ P$ יש להתייחס ל־ $\ S$ כפרמטר בלתי תלוי ולכן יש לבצע את ההתמרה על $\ E(S,V)$ (במקום $\ S(E,V)$ שממנה התחלנו קודם). נבצע טרנספורם של $\ E(S,V)$ ביחס ל־ $\ V$ :

$h(S,P)=V\left({\partial {\tilde {E}} \over \partial V}\right)_{S}-E(S,V(S,P))=-PV-E$

הגודל הנקרא אנתלפיה הוא

$\ H=-h=E+PV$

הקשר בין תנאי שיווי משקל לטרנספורם לז'נדר

ניתן להדגים די בפשטות מדוע טרנספורם לז'נדר אכן נותן את התנאי לשיווי משקל תחת התנאים השונים. להלן הוכחה לקשר זה עבור האנרגיה החופשית.

כל שנדרש להראות הוא, שבתנאים של טמפרטורה ונפח קבועים במערכת A, תנאי שיווי המשקל הדורש מקסימום אנטרופיה במערכת הכוללת (מערכת A +אמבט B), גורר את התנאי שהאנרגיה החופשית של הלמהולץ של המערכת A צריכה להגיע למינימום. נצא מנקודת הנחה שהמערכת הכוללת (A+B) נמצאת בשיווי משקל, כלומר האנרגיה הכוללת במערכת התחלקה בין המערכת A והאמבט B בצורה שממקסמת את האנטרופיה הכוללת (הטמפרטורות שוות). במילים אחרות, שינוי בחלוקת האנרגיה יכול רק לגרום לירידת האנטרופיה הכוללת. נראה שזה גורר עלייה באנרגיה החופשית של המערכת A:

$\ dS_{tot}=dS_{A}+dS_{B}$