יחידות פלאנק

יחידות פלאנק הן יחידות מידה פיזיקליות המבוססות על קבועים פיזיקליים. יחידות פלאנק הומצאו על ידי מקס פלאנק בשנת 1899, על-מנת ליצור מערכת יחידות טבעיות, שתהיה לה משמעות אוניברסלית. בשונה ממערכות יחידות אחרות, כמו למשל מערכת היחידות הבינלאומית, קביעת גודלן של היחידות הבסיסיות במערכת יחידות פלאנק איננה שרירותית. המצאת יחידות פלאנק היא דוגמה לשימוש באנליזה ממדית.

מקס פלאנק

במאמר המקורי מקס פלאנק הביא את הטיעון הבא להצגת היחידות החדשות:

הן בהכרח שומרות על המשמעות בכל זמן ועבור כל ציוויליזציה ביקום, ועל-כן הן יכולות להיקרא 'יחידות טבעיות'

— מקס פלאנק, 1899

קבועים פיזיקליים

יחידות פלאנק היא מערכת יחידות בה הקבועים הבאים מקבלים את הערך 1:

קבוע	סימון	ממדים	ערך ביחידות SI
מהירות האור בריק	${c}\$	L T^-1	$\,299,792,458\,{\frac {m}{s}}$
קבוע הכבידה	${G}\$	M^-1L³T^-2	$\,6.6742\cdot 10^{-11}\,{\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}}$
קבוע דיראק	$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$	ML²T^-1	$\,1.05457168\cdot 10^{-34}\,{\frac {kg\,m^{2}}{s}}$
קבוע קולון	$\,k_{c}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$	Q^-2 M L³ T^-2	$\,8,987,551,788\,{\frac {kg\,m^{3}}{C^{2}\,s^{2}}}$
קבוע בולצמן	${k_{B}}\$	ML²T^-2Θ^-1	$\,1.3806505\cdot 10^{-23}\,{\frac {kg\,m^{2}}{s^{2}\,K}}$

${\epsilon _{0}}$ בטבלה זו הוא קבוע הדיאלקטריות של הריק. במערכת היחידות המקורית, פלאנק לא השתמש בקבוע דיראק (שהוא למעשה קבוע פלאנק המצומצם), אלא בקבוע המוכר כיום בתור "קבוע פלאנק" ( ${h}$ ), וזאת שנה לפני שהוא השתמש בקבוע זה לצורך ההסבר של קרינת גוף שחור, אירוע אשר מסמל את הולדת תורת הקוונטים.

מערכת יחידות פלאנק מאפשרת רישום פשוט יותר של משוואות פיזיקליות רבות, משום שקבועים אלו נפוצים מאד בתיאור תהליכים פיזיקליים, וניתן להשמיט אותם מהמשוואות כאשר ערכם נקבע בתור 1.

יחידות פלאנק המצומצמות (reduced Planck units) הן יחידות פלאנק בהן נקבע 8πG=1 במקום G=1. מערכת יחידות זו שימושית בחישובים הקשורים לתורת היחסות הכללית ולקוסמולוגיה.

היחידות הבסיסיות

שם	כמות	ביטוי	ערך ביחידות SI	הערות
אורך פלאנק	אורך (L)	$l_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	$\,1.61624\cdot 10^{-35}\ \,m$	-
מסת פלאנק	מסה (M)	$m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	$\,21.7645\ nkg$	$\ 1.2209\cdot 10^{19}\,GeV$
זמן פלאנק	זמן (T)	$t_{P}={\frac {l_{P}}{c}}={\frac {\hbar }{m_{P}c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	$\,5.39121\cdot 10^{-44}\,sec$	-
מטען פלאנק	מטען חשמלי (Q)	$q_{P}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}$	$1.8755459\ aC$	-
טמפרטורת פלאנק	טמפרטורה (Θ)	$T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k_{B}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk_{B}^{2}}}}$	$\,1.41679\cdot 10^{32}\,K$	$\ 1.2209\cdot 10^{19}\,GeV$

יחידות נוספות

על פי יחידות הבסיס ניתן להגדיר יחידות נגזרות (derived units) לשאר הגדלים הפיזיקליים:

שם	כמות	ביטוי	ערך ביחידות SI
תנע פלאנק	תנע (MLT^-1)	$p_{P}=m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	$\,6.52483\,{\frac {kg\,m}{s}}$
אנרגיית פלאנק	אנרגיה (ML²T^-2)	$E_{P}=m_{P}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	$\,1.95610\ GJ$
כוח פלאנק	כוח (MLT^-2)	$F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {\hbar }{l_{P}t_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	$\,1.21027\cdot 10^{44}\,N$
הספק פלאנק	הספק (ML²T^-3)	$P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	$\,3.62831\cdot 10^{52}\,W$
צפיפות פלאנק	צפיפות (ML^-3)	$\rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {\hbar t_{P}}{l_{P}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	$\,5.15500\cdot 10^{96}\,{\frac {kg}{m^{3}}}$
תדירות פלאנק	תדירות (T^-1)	$f_{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	$\,1.85487\cdot 10^{43}\,Hz$
לחץ פלאנק	לחץ (ML^-1T^-2)	$p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{P}^{3}t_{P}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	$\,4.63309\cdot 10^{113}\,Pa$
זרם פלאנק	זרם (QT^-1)	$I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}$	$\,34.7890\ YA$
מתח פלאנק	מתח (ML²T^-2Q^-1)	$V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}$	$\,1042.95\ YV$
התנגדות פלאנק	התנגדות (ML²T^-1Q^-2)	$R_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {\hbar }{q_{P}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}$	$\,29.9792458\,\ \Omega$
תאוצת פלאנק	תאוצה (LT⁻²)	$a_{\text{P}}={\frac {c}{t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{\hbar G}}}$	$5.560815\times 10^{51}\ m/s^{2}$