מהירות הקול

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מהירות הקול היא המהירות שבה נעים גלי הקול בתווך. מהירות הקול תלויה במקדם הקשיחות של חומר התווך ובצפיפות שלו. בתנאים מסוימים מושפעת מהירות הקול גם מהטמפרטורה והלחץ.

בדרך כלל, משתמשים במונח "מהירות הקול" כשמתכוונים למהירות הקול באוויר, שהיא 343 מטר לשנייה או 1234.8 קמ"ש, בטמפרטורה של 20 מעלות צלזיוס באוויר יבש. בברזל, למשל, מהירות הקול היא אלפי מטרים בשנייה, ובמים מהירות הקול גבוהה פי 4.3 מהמהירות באוויר. לעומת זאת, בריק מוחלט או בחלל החיצון (שהצפיפות בו היא כאטום אחד למטר מעוקב), גלי הקול אינם יכולים לנוע כלל ולכן לא ניתן להעביר קול בחלל החיצון.

באופן כללי מהירות הקול ניתנת בנוסחה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c=\sqrt{\frac{C}{\rho}} }

מסמל מקדם הקשיחות של החומר ואילו מסמל את צפיפות החומר.

מכיוון שמהירות הקול באוויר תלויה בלחץ האוויר היא תלויה בטמפרטורה ובגובה מעל פני הים.

נוסחה לחישוב מהירות הקול באוויר על פי הטמפרטורה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{\mathrm{air}} = (331{.}5 + 0{.}6 \cdot \vartheta) \ \mathrm{m/s} }

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vartheta} הטמפרטורה במעלות צלזיוס, ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} מהירות הקול באוויר.

ביטוי מדויק יותר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{\mathrm{ideal}} = \sqrt{\gamma \cdot {p \over \rho}} = \sqrt{\gamma \cdot R \cdot T \over M}= \sqrt{\gamma \cdot k \cdot T \over m} }

כאשר:

  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא קבוע הגזים האונברסלי המחולק למסה המולרית של האוויר.
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הוא קבוע בולצמן.
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} (בשימושים מסוימים מסומן גם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa} ) הוא היחס בין החום הסגולי בלחץ קבוע לחום הסגולי בנפח קבוע (1.402 לאוויר).
  • האות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} מייצגת את הטמפרטורה בקלווין.
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} המסה המולרית.
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} המסה של מולקולה יחידה.

לציון מהירותם של עצמים כמו מטוסים או חלליות הנעים במהירות על קולית (מהירות הגבוהה ממהירות הקול) נהוג להשתמש במספר מאך, שהוא היחס בין מהירות העצם בתווך, לבין מהירות הקול באותו תווך. מאך 1 שווה למהירות הקול, מאך 2 הוא פי 2 ממהירות הקול וכן הלאה.

ב-14 באוקטובר 2012 שבר פליקס באומגרטנר את מהירות הקול בצניחה חופשית. באומגרטנר קבע את שיא המהירות בצניחה חופשית, 373 מטר לשנייה שהם 1,342.8 קמ"ש, או 1.24 מאך.[1]

פיתוח הנוסחה למהירות הקול בתווך גזי

ההנחות על תכונות התווך הגזי לגביו המושג של "מהירות הקול" תקף הן: המושג של מהירות הקול בתווך אלסטי כלשהו תקף כל עוד אורך הגל של הקול גדול באופן משמעותי מהמהלך החופשי הממוצע של חלקיקי הגז הנושא את גל הקול. אחרת, רעידות (תנודות בלחץ ובצפיפות של הגז) בתווך הגזי לא יצליחו להתקדם בתוכו באופן אפקטיבי, שכן חלקיקי הגז ינועו בקו ישר במהלך זמן מחזור אחד של הגל, בגלל המהלך החופשי הארוך של החלקיקים, שמונע העברת תנע בין חלקיקי הגז ולכן מונע התקדמות במרחב של הפרמטרים המאפיינים את הגל.

כיוון שקול הוא למעשה גל דחיסה בתווך (אלמנטי הגז נעים במהירויות שונות וכך דוחסים אחד את השני), חוסר יכולת של אלמנטי הגז להעביר תנע אחד לשני מונע התקדמות של הגל בתווך, והופך לפעפוע בלבד כאשר התנאי הזה לא מתקיים. לפיכך המושג של מהירות הקול מאבד מישימותו עבור תדרים גבוהים במיוחד של גל הקול או לחלופין בתנאים של תווך דליל במיוחד, כמו זה שמתקיים באטמוספירה העליונה.

גל לחץ, שנקרא גם גל דחיסה, הוא גל אורכי – כלומר אלמנטי הגז נעים בכיוון התקדמות הגל

מסתבר שתחת טווח שינוי לחצים קטן בהשוואה ללחץ המקומי של הגז, הגז כולו מתפקד כתווך אלסטי עם מקדם קפיצי קבוע מסוים. ניתן לדמות את הגז בו מתקדם הגל כמורכב מתאים זהים שביניהם מחיצות המקיימים אינטראקציה אחד עם השני - לכל תא יש מסה מסוימת, ואודות ללחץ הגז יש לו גם מקדם אלסטי מסוים. דימוי זה של התקדמות הגל מרמז כי מהירות הקול תלויה במסת כל אחד מהתאים, כלומר בצפיפות הגז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho } , ובמקדם האלסטי k של כל תא, כלומר בלחץ שלו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} . כיוון שכך, מספיק לחשב את מהירות ההתקדמות של הפרעה טורית במערכת קפיצים ומסות עם מסה m וקבוע קפיץ k, ולאחר מכן נותר להעריך את מקדם הקפיציות של הגז מהפרמטרים שמאפיינים אותו (כלומר משיקולים תרמודינמיים). אם האורך הרפוי של כל קפיץ הוא L, אז מקבלים את משוואות התנועה הבאות עבור המסות:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\ddot{x_{n}(t)} = k((x_{{n + 1}} - x_n - L) - (x_n - x_{{n - 1}} - L)) = k((x_{{n + 1}} - x_n) - (x_n - x_{{n - 1}}))}

הביטוי הוא גרסה מבוססת שינויים סופיים של הביטוי הבא (המנוסח בשפת החשבון האינפיניטסימלי): הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) } , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t) } הוא למעשה ההפרש בין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{n}(t) } ל- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{n}(0) } . לפיכך המשוואה שנתקבלה היא למעשה המשוואה הבאה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \psi(x,t) = k/m*L^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) } .

משוואה זו היא למעשה משוואת הגלים, ולפיכך מקבלים שמהירות ההתקדמות של הפרעות טוריות במערכת הקפיצים והמסות היא: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = \sqrt {{\frac{{L^2*k}}{{m}}}} = L*\sqrt {{\frac{{k}}{{m}}}} } .

כדי להשתמש בתוצאה זאת על מנת להסיק משהו לגבי מהירות הקול בגז, יש להעריך את מקדם הקפיציות של תא גזי בצורת תיבה בעלת שטח חתך S ואורך L. ההנחה שנניח כעת היא שהגז בתיבה נדחס ומתפשט אדיאבטית. הנחה זאת מוצדקת משום שהתהליכים המתרחשים במעבר קול מהירים ולא מאפשרים מעבר חום בדרכים סטנדרטיות כמו הולכה והסעה, כך שאין מעבר חום מהתא החוצה, וזה בהגדרה תהליך אדיאבטי. המשוואה הקושרת את הלחץ והנפח בתהליך אדיאבטי היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV^{{\gamma}} = const } , או, בגרסה דיפרנציאלית: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {{dP}} {{P}} = -\gamma \frac {{dV}} {{V}}} שזה למעשה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {{dP}} {{dV}} = -\gamma \frac {{P}} {{V}} = -\gamma \frac {{P}} {{LS}}} . הקשר בין מקדם הקפיציות k ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {{dP}} {{dV}}} הוא לפי הגדרת k למעשה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = \frac {{dP}} {{dV}}*S^2} מסת התא הגזי היא . התוצאה שמתקבלת למהירות הקול היא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_s = \sqrt {{\frac{{L^2*k}}{{m}}}} = \sqrt {{\frac{{L^2*\gamma\frac {{P}} {{LS}}*S^2}}{{\rho*LS}}}} = \sqrt {{\frac{{\gamma P}}{{\rho}}}}}

הערה: ההנחה בפיתוח לחישוב מהירות ההתקדמות של הפרעות טוריות שהביטוי בצורה של שינויים סופיים שווה לביטוי המנוסח בשפת החשבון האינפיניטסימלי נכונה בקירוב רק כאשר אורכי הגל גדולים בהרבה (כמה סדרי גודל) מהמרחק L בין שתי מסות, הגם שבמקרה של גז הנחה זאת חייבת להתקיים כדי שתהיה לו אלסטיות מסוימת. במוצקים המצב שונה, שכן אודות למבנה המסודר של האטומים גם גלים עם אורכי גל מסדר גודל של המרחק בין האטומים יכולים להתקדם באופן אפקטיבי, אך יש להם יחס נפיצה לא לינארי. להסבר מורחב ראו יחס נפיצה של פונונים.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים