מומנט (הסתברות)
מומנט של משתנה מקרי הוא התוחלת של חזקה שלמה כלשהי של המשתנה המקרי. המומנטים השונים של משתנה מקרי מהווים אינדיקציה לתכונות שונות של התפלגות המשתנה, ובמקרים רבים די בחישוב של מספר מומנטים כדי לקבל מידע על המשתנה האקראי, ללא חישוב מפורש של פונקציית ההתפלגות .
הגדרה ותכונות כלליות
המומנט ה-k של משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_k (X)= E[X^k] \! } (בתנאי שהאינטגרל מתכנס בהחלט).
בדומה לזה, המומנט המרכזי ה-k הוא המומנט ה-k של המשתנה המקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{X}=X-E[X] } , אשר מתקבל על ידי הסטת המשתנה המקורי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } , בתוחלתו כך שלמשתנה החדש תוחלת 0. את המומנט המרכזי מסמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_k (X)= E \left[ ( X - E[X] )^k \right] \! } . לפי ההגדרה, המומנט מסדר אפס הוא 1: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_0 (X)=\mu_0(X)= 1 \!} .
המומנטים של משתנה מקרי רציף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{X} } הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_k (X)= \int_{-\infty}^\infty x^k f_\tilde{X}(x)dx } , כאשר f היא פונקציית הצפיפות. עבור משתנה מקרי בדיד מתקבל ביטוי דומה עם פונקציית ההסתברות במקום הצפיפות.
אפשר לנרמל את המומנטים לפי סטיית התקן, ולקבל מומנט מתוקן – הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\mu_k}{\sigma^k}} . לכל משתנה מקרי, המומנט המתוקן הראשון הוא 0, והשני 1.
למומנט המרכזי התכונות הבאות:
- הזזה בקבוע איננה משנה את המומנט: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_k(X+b)=\mu_k(X)\!} .
- המומנט המרכזי הוא פונקציה הומוגנית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_k(aX)=a^k\mu_k(X)\!} .
- המומנטים המרכזיים מסדר אי-זוגי הם 0 עבור משתנה מקרי סימטרי, משום שאם פונקציה זוגית ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k } אי-זוגי, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^k f_\tilde{X}(x)} אי-זוגית והאינטגרל שלה הוא 0 (בתנאי שהאינטגרל מתכנס). לדוגמה, ההתפלגות נורמלית סימטרית, ולכן כל המומנטים מסדר אי-זוגי שלה הם 0.
מומנטים מסדרים שונים
למומנטים מסדרים נמוכים ישנה משמעות אינטואיטיבית לגבי ההתפלגות הנתונה:
- המומנט מסדר ראשון הוא התוחלת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_1 (X)= E[X] \! } . המומנט הממורכז מסדר ראשון הוא תמיד אפס: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_1 (X)= E[X-E[X]]=0 \ } .
- המומנט המרכזי מסדר שני הוא השונות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_2 (X)= Var(X)\! } . מומנט זה מהווה מדד לפיזור (או לאי הוודאות) של המשתנה, כלומר באיזו מידה הערכים הסבירים רחוקים מהתוחלת. דגימות של משתנה בעל מומנט מרכזי מסדר שני קרוב ל-0 יניבו ערכים הקרובים לתוחלת.
- המומנט המרכזי מסדר שלישי חלקי סטיית תקן בשלישית הוא הצידוד: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}} . הצידוד מהווה מדד לחוסר סימטריות בפונקציית הצפיפות, כלומר באיזו מידה הערכים מצידה האחד של התוחלת סבירים יותר מערכים בצידה האחר.
- המומנט המרכזי מסדר רביעי חלקי סטיית התקן ברבעית פחות 3 הוא הגבנוניות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3} . גורם החיסור ב-3 איננו הכרחי מבחינת אפיון הפילוג, והוא מתווסף לצורך נרמול, כך שגבנוניות הפילוג הגאוסי לפי הגדרה זו תהיה 0. גבנוניות גבוהה מתבטאת בחריגות גדולות ונדירות מן הממוצע, בעוד שגבנוניות נמוכה פירושה שהחריגות שכיחות אך קטנות יותר בעוצמתן.
מומנטים של סכום משתנים מקריים
יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y} שני משתנים מקריים ונניח כי קיימים להם מומנטים מכל סדר. אזי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_1(X+Y)=\mu_1(X)+\mu_1(Y)\!} . פרט זה נובע מליניאריות התוחלת, והוא תקף גם למשתנים תלויים.
אם בנוסף ידוע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y} הם גם חסרי קורלציה אזי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)}
ואם ידוע כי הם גם בלתי תלויים סטטיסטית, אזי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_3(X+Y)=\mu_3(X)+\mu_3(Y)\!} .
קשר בין המומנטים לבין ההתפלגות
התמרת פוריה קושרת בין התפלגות של משתנה לבין הפונקציה האופיינית שלו, המוגדרת כך:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi_X(t) = E[e^{jtX}]} (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j=\sqrt{-1}} )
אי לכך, ניתן להראות כי שני משתנים מקריים הם שווי פילוג אם ורק אם יש להם אותה פונקציה אופיינית, ומכאן שהפונקציה האופיינית מגדירה את פילוג המשתנה.
מתוך הפונקציה האופיינית ניתן להגדיר את הפונקציה היוצרת מומנטים של משתנה מקרי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M_X(t) = \phi_X(-jt)=E[e^{-j^2tX}]=E[e^{tX}]}
כעת, לפי פיתוח טיילור של הפונקציה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}} , יתקבל כי הפונקציה היוצרת מומנטים ניתנת לביטוי כך:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M_X(t) = E\left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(tX)^k}{k!} \right] = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} E[X^k]t^k} .
מסקנה: אם ידועה פונקציית הצפיפות של המשתנה המקרי, ניתן לקבל מומנט כלשהו מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} על ידי כתיבת הפונקציה היוצרת מומנטים, גזירתהּ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} פעמים והצבת 0:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right|_{t=0} = \frac{1}{k!}k\cdot (k-1)\cdot...\cdot 1 \cdot E[X^k] = E[X^k]}
מאידך, תחת תנאים מתאימים, אם ידועים לנו כל המומנטים של המשתנה המקרי, ניתן להשתמש בנוסחה הנ"ל לקבלת פונקציית הצפיפות. אם כי קיומה של הפונקציה היוצרת מומנטים אינו מובטח (על אינטגרל התוחלת להתכנס), ונדרשים תנאים להחלפת סדר סכימה ואנטגרציה כדי לקבל את המסקנה לעיל.
ראו גם
קישורים חיצוניים
מומנט (הסתברות)39926792Q638982