מורן I (באנגלית: Moran's I) הוא מונח בסטטיסטיקה מרחבית, המייצג מדד למתאם עצמי מרחבי. המדד פותח על ידי החוקר האוסטרלי פטריק מורן ונקרא על שמו.
מתאם עצמי מרחבי מאופיין בדמיון בין אזורים סמוכים במרחב ביחס לערכי פרמטר מסוים , כאשר דמיון זה דועך כתלות במרחק בין האזורים. מדד מורן I תחום בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm 1}
, כאשר ערך מורן I קרוב ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1}
מעיד על מתאם חיובי בין ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y}
באזורים סמוכים, ואילו ערך מורן I קרוב ל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1}
מעיד על מתאם שלילי בין ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
באזורים סמוכים.
מורן I מוגדר מעל מטריצת משקלות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W}
, אשר מקודדת את היחסים המרחביים בין מיקום למיקום. לדוגמה כאשר מתייחסים למרחק בין מדינות האם משקללים את ההשפעה של מדינות בעלות גבול משותף עם מדינה שכנה, או רק את ההשפעה של מדינות שכנות. הגדרה שונה של מטריצת המשקלות יכולה לגרום לשינו בערכו של מורן I, אף אם ערכי הפרמטר עבורם מחושב המדד נשארים זהים. רגישות זו של המדד למטריצת המשקולות מצריכה שיקול דעת בבחירת מטריצת המשקולות המתאימה לכל מקרה. כאשר מוגדרת מטריצת המשקולות על פי יחסי שכנות, נהוג לתקנן לפי שורות את המטריצה. זאת מאחר שללא תקנון מדד מורן I מעניק משקל גבוה ביחס ישר למספר השכנים לכל מיקום. כך, לאחר התקנון כל מיקום מקבל משקל שווה בחישוב המדד.
על מנת לחשב את מדד מורן I הגלובלי, ראשית עבור כל שני מיקומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i,j}
, מחושב האם ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
שלהם חורגים באותו הכיוון מממוצע ערכי ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
בכל המיקומים. חישוב זה מבוצע באמצעות הביטוי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_i - \bar{x})(x_j - \bar{x})}
כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{N} \sum x_i }
ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N}
מספר המיקומים במחקר.
הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_i - \bar{x})(x_j - \bar{x}) }
מוכפל במשקולת הרלוונטית במטריצת המשקולות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{ij} }
, על מנת להתייחס לכך שהתלות בין מיקומים רחוקים תורמת פחות למדד הכללי.
המדד הגלובלי מחשב את הסכום של ביטוי זה עבור כל זוג מיקומים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_i \sum_j w_{ij}(x_i - \bar{x})(x_j - \bar{x}) }
, ומחלק את התוצאה בשונות הכללית של-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_i(x_i - \bar{x})^2 }
. . בכך נוצר מדד יחסי לשונות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
, המייצג את החלק היחסי המוסבר על ידי ערכים באזורים סמוכים. לבסוף, כדי שהמדד יהיה חסום בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm 1}
מוכפל הביטוי במספר המיקומים במחקר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N }
חלקי סכום כל המשקולות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W= \sum_i \sum_j w_{ij} }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I = \frac N W \frac {\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N w_{ij}(x_i-\bar x) (x_j-\bar x)} {\sum_{i=1}^N (x_i-\bar x)^2} }
קובץ:Moran's I example.png מורן I מחושב עבור דפוסים שונים של פיזור ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x }
במרחב. מטריצת המשקולות מוגדרת כ- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{ij}=1}
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j}
ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i}
סמוכים, ולאחר מכן המטריצה מנורמלת לפי שורה. התמונה השמאלית עליונה מציגה מתאם מרחבי שלילי, והימנית עליונה מתאם חיובי. התמונה השמאלית תחתונה מציגה פיזור אקראי ובהתאם ערך I קרוב ל-0 (או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1/(N-1) \simeq -0.04}
). התמונה הימנית תחתונה לעומת זאת מציגה מעין כתם דיו המתפשט בפעפוע, ובהתאם חישוב המתאם המרחבי יוצא חיובי.
התוחלת של מורן I
כאשר אומדים את ערכו של מורן I, נהוג להניח השערת 0 לפיה אין כלל מתאם מרחבי בין אזורים. במקרה זה התוחלת שווה ל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{E}(\text{Moran I}|H_0) = \frac{-1} {N-1}}
והשונות ל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Var}(\text{Moran I}|H_0) = \frac{NS_4-S_3S_5} {(N-1)(N-2)(N-3)W^2} - \mathbb{E}(\text{Moran I}|H_0)^2}
כאשר
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_1 = \frac 1 2 \sum_i \sum_j (w_{ij}+w_{ji})^2 }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_2 = \sum_i \left( \sum_j w_{ij} + \sum_j w_{ji}\right)^2 }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_4 = (N^2-3N+3)S_1 - NS_2 + 3W^2 }
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_5 = (N^2-N) S_1 - 2NS_2 + 6W^2 }
בהתאם ניתן לערוך מבחן סטטיסטי, ולחשב את ההסתברות (ערך-p) לקבלת כל ערך של מורן I בטווח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm 1}
. ערכים נמוכים מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1/(N-1)}
מצביעים על מתאם מרחבי שלילי, ואם סבירותם קטנה מאוד נאמר כי המתאם השלילי מובהק. באופן דומה ערכים גבוהים מ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1/(N-1)}
מצביעים על מתאם מרחבי חיובי. ואם סבירותם קטנה מאוד נאמר כי המתאם השלילי מובהק. נהוג להתייחס להסתברות קטנה מ-5% (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = 5% }
). אלטרנטיבה לחישוב ערך ה-p של מורן I היא שימוש במבחנים מבוססי פרמוטציות (Permutation tests).
מדד מורן I המקומי
מדד מורן I הגלובלי הוא מדד מסכם לכלל המיקומים במחקר. עם זאת, לעיתים קיימות תופעות מקומיות אשר אינן משותפות לכלל המיקומים. לפיכך, פותחו מדדים מקומיים המאפשרים בחינה סטטיסטית של תופעות מקומיות. מורן I מקומי הוא מדד המאפשר לבחון את מובהקותו של מתאם מרחבי במיקום מסוים.
בדומה למדד הכללי, עבור מיקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i}
אותו רוצים לבחון, מחושב האם ערך ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
שלו חורג באותו הכיוון מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar{x}}
כמו ערך ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
בכל אחד מהמיקומים האחרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{j \ne i}}
באמצעות הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_i - \bar{x})(x_j - \bar{x})}
. ביטוי זה מוכפל במשקולת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{ij}}
, ונסכם עבור כל המיקומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{j \ne i}}
:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum _{j \ne i} w_{ij}(x_i -\bar{x})(x_j-\bar{x}) }
ביטוי זה מחולק בשונות הערכים בכל המיקומים האחרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{j \ne i}}
ביחס לממוצע:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^2_i= \frac {\sum_{j \ne i}(x_j-\bar{x})^2}{(n-1)}}
כך שמדד מורן I המקומי מקבל את הביטוי:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_i = \frac {\sum _{j \ne i} w_{ij}(x_i -\bar{x})(x_j-\bar{x})}{S^2_i}}
מאחר שהביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i - \bar{x}}
קבוע ביחס לסכום, ניתן להוציאו מחוץ לסכום:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_i = \frac {x_i -\bar{x}}{S^2_i} \sum _{j \ne i} w_{ij}(x_j-\bar{x})}
מדד מורן I המקומי יכול לאפיין מיקומים בהם ערך ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
דומה לערכים של מיקומים סביבו או שונה מהם, מעבר למצופה תחת פיזור אקראי של ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x}
. במקרה ובו בוחנים מקומות רבים, על מנת להימנע מניפוח טעות מסוג ראשון, ניתן להשתמש בתיקון לבעיית ההשוואות המרובות כמו תיקון ביניימיני הוכברג, שמגביל את שיעור התגליות השגויות.
