איבר פרובניוס

בתורת המספרים האלגברית, איבר פרובניוס היא איבר מיוחד בחבורת גלואה של הרחבה של שדות מספרים, הנקבע על-פי אידאל ראשוני בלתי מסועף. את קיומם של איברים מסוג זה הוכיח פרדיננד פרובניוס. משפט הצפיפות של צ'בוטרב מראה שכל איבר בחבורה עשוי להיות איבר פרובניוס, אם בוחרים את הראשוני המתאים.

הגדרה

רקע

איבר פרובניוס מוגדר עבור הרחבת גלואה K/F של שדות מספרים, בנוכחות אידאל ראשוני p של חוג השלמים $\ O_{F}$ של F. האידאל p מתפרק למכפלה של אידאלים ראשוניים בחוג השלמים $\ O_{K}$ של K: $\ p=P_{1}^{e_{1}}\cdots P_{g}^{e_{g}}$. מכיוון שזו הרחבת גלואה, כל גורמי הסיעוף $\ e_{i}$ שווים זה לזה. ההנחה שהאידאל אינו מסועף פירושה שגורמי הסיעוף שווים ל-1, כלומר $\ p=P_{1}\cdots P_{g}$.

שדה השאריות של F ביחס ל-p הוא חוג המנה $\ {\bar {F}}=O_{F}/p$. זהו שדה סופי, נאמר מסדר q. שדות השאריות ביחס לגורמים $\ P_{i}$ של p הם $\ {\bar {K}}_{i}=O_{K}/P_{i}$: גם כאן, מכיוון שזו הרחבת גלואה, כולם איזומורפיים זה לזה. המימד $\ f=[{\bar {K}}_{i}:{\bar {F}}]$ מקיים $\ n=[K:F]=fg$.

כל האוטומורפיזמים בחבורת גלואה $\ G=\operatorname {Gal} (K/F)$ שומרים על חוג האיברים השלמים, כקבוצה. חבורת ההרכבה $\ G(P_{i})$ של הגורם $\ P_{i}$ כוללת את האוטומורפיזמים בחבורת גלואה השומרים את P, כלומר, $\ G(P_{i})=\{\sigma \in G:\sigma (P_{i})=P_{i}\}$ (כל החבורות $\ G(P_{i})$ צמודות זו לזו).

הגדרה

האיברים בחבורה $\ G(P_{i})$ מתאימים לאלו בחבורת גלואה של הרחבת השדות הסופיים $\ {\bar {K}}_{i}/{\bar {F}}$, וזו האחרונה נוצרת על ידי אוטומורפיזם פרובניוס - פעולת ההעלאה בחזקת q. כך מוגדר איבר פרובניוס - האיבר היחיד של $\ G(P_{i})$ המקיים $\ \sigma (x)-x^{q}\in P_{i}$.

יחידות

לכל אידאל לא מסועף של K יש איבר פרובניוס יחיד, $\ (K/F,P_{i})$, כפי שהוגדר לעיל. לכל אידאל לא מסועף של F, איבר פרובניוס $\ (K/F,p)$ מוגדר היטב רק עד-כדי הצמדה, משום שאפשר לבחור את הגורם $\ P_{i}$ של p כרצוננו.

דוגמה

נתבונן בהרחבה של $\ F=\mathbb {Q}$ על ידי השורשים a ו-b של $\ a^{2}=1+{\sqrt {3}},b^{2}=1-{\sqrt {3}}$, בהתאמה (המכפלה ab היא שורש של 2-). ההרחבה של $\ K=\mathbb {Q} [a,b]$ מעל F היא הרחבת גלואה ממימד 8, עם חבורת גלואה דיהדרלית, עם איבר $\ \sigma$ מסדר 4 המקיים $\ \sigma (a)=b,\sigma (b)=-a$, ואיבר $\ \tau$ המקיים $\ \tau (a)=a,\tau (b)=-b$.

האידאל הראשוני $\ p=\langle 5\rangle$ מתפרק למכפלה $\ \langle 5\rangle =PP'$ כאשר $\ P=\langle 5,ab(a^{2}-1)-2\rangle$ ו- $\ P'=\langle 5,ab(a^{2}-1)+2\rangle$. האוטומורפיזם $\ \tau$ מחליף בין האידאלים, ואילו $\ \sigma$ שומר על שניהם. לכן חבורת ההרכבה של שני האידאלים היא אותה חבורה - זו הנוצרת על ידי $\ \sigma$. שדה השאריות $\ {\bar {F}}$ מסדר 5, וההרחבה $\ {\bar {K}}/{\bar {F}}$ היא ממימד 4. אפשר לחשב שאיבר פרובניוס ביחס ל-P הוא $\ \sigma$, ואיבר פרובניוס ביחס ל-'P הוא $\ \sigma ^{-1}$.