מטריצת מעבר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ליניארית, מטריצת מעבר בין בסיסים של אותו מרחב וקטורי מממד סופי, היא מטריצה ריבועית שהכפל בה מתרגם וקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הראשון לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס השני.

יהיו B ו-C בסיסים סדורים למרחב הווקטורי V. מטריצת המעבר מ-B ל-C[1]‏, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M^B_C} , היא המטריצה היחידה המקיימת את השוויון

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M^B_C[v]_B = [v]_C}

לכל וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v \in V} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [v]_B, [v]_C} הם וקטורי הקואורדינטות לפי הבסיסים B,C, בהתאמה. מן ההגדרה הזו נובעות כמה זהויות שימושיות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M_B^B = I} ; לכל שלושה בסיסים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B,C,D} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M^C_D M^B_C = M^B_D} ; ובפרט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M^C_B = (M^B_C)^{-1}} .

מטריצת המעבר היא למעשה המטריצה המייצגת של העתקת הזהות ביחס לשני הבסיסים.

את מטריצת המעבר אפשר לבנות על ידי חישוב של וקטורי קואורדינטות: העמודה ה-i שלה היא וקטור הקואורדינטות של האיבר ה-i בבסיס B, לפי הבסיס C. כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (M^B_C)_{\downarrow i} = [ b_i ]_C}

את מטריצת המעבר בין שני בסיסים B ו-C כלשהם ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^n} נוח לחשב דרך הבסיס הסטנדרטי E. הקואורדינטות של וקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_i \in B} לפי E הם פשוט רכיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_i} מסודרים בעמודה. לכן זה מיידי לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_E^B = ( ... |[b_i]_E | ... )} . באותו אופן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_E^C = ( ... |[c_i]_E | ... )} מתכונת ההפכיות מקבלים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_C^E = (M_E^C)^{-1}} ולחישוב ההפכית יש אלגוריתם טכני וברור באמצעות דירוג מטריצות. לבסוף, מתכונת הכפליות מקבלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_C^B = M_C^E M_E^B = (M_E^C)^{-1} \cdot M_E^B} . את כל המטריצות בביטוי זה קל לחשב באמצעות פעולות טכניות ופשוטות.

הגדרה וסימון מקובלים למטריצת המעבר הם כדלהלן: מטריצת המעבר מבסיס B לבסיס C תסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [I]^B_C} והיא המטריצה ההפיכה היחידה שמקיימת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall \vec{v} \in V : \qquad [\vec{v}]_C = [I]^B_C [\vec{v}]_B}

וניתן לחשבה באופן הבא: עמודות המטריצה הן וקטורי הקואורדינטות של וקטורי הבסיס B לפי הבסיס C. בפרט:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [I]^B_C = \left[ [\vec{b}_1]_C \ | \ \cdots \ | \ [\vec{b}_n]_C \right]}

בפרט היא מקיימת: קיום הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [I]^B_B = I_n} , כפליות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [I]^B_D = [I]_D^C [I]_C^B} והפיכות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [I]^C_B = ( [I]^B_C )^{-1}} .

כל מטריצת מעבר היא מטריצה הפיכה, ולהפך: כל מטריצה הפיכה היא מטריצת מעבר מהבסיס B לבסיס כלשהו, ומבסיס כלשהו לבסיס C. במילים אחרות, חבורת המטריצות ההפיכות פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף הבסיסים של המרחב.

כשמוגדרת על המרחב מכפלה פנימית, מטריצת המעבר בין שני בסיסים אורתונורמליים היא מטריצה אורתוגונלית, ולהפך: אם B,C בסיסים אורתונורמליים נתונים, אז כל מטריצה אורתוגונלית היא מטריצת מעבר מ-B לבסיס אורתונורמלי כלשהו, ומבסיס אורתונורמלי כלשהו אל C. כמקודם, חבורת המטריצות האורתוגונליות פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף הבסיסים האורתונורמליים של המרחב.

אפיסטמולוגית, האבחנה בין וקטורים מופשטים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}^n} לבין הייצוגים שלהם כווקטורי קואורדינטות בבסיס כלשהו שבחרנו היא דוגמה חשובה לאבחנה מסוג אפריורי/אפוסטריורי - בעוד וקטורים מופשטים הם יצירי מחשבה אלגבריים הקודמים לניסיון, וקטורי קואורדינטות מתייחסים לתיאור הגאומטרי, שאופיו מותנה בניסיון. למשל, בעוד קיומם של כוכבי השבת קודם לניסיון, הדימוי הגאומטרי "הטבעי" שלהם נתפס דרך התיווך הראשוני של מערכת הקואורדינטות השמימית (כלומר דרך מבט על כיפת השמיים), שמשתנה לפי המיקום ולפי הזמן (עקב סיבוב כדור הארץ סביב צירו).

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ כך בחלק מהספרים; בספרים אחרים היא נקראת דווקא "מטריצת המעבר מ-C ל-B".
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0