מכפלה חצי ישרה

מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות $H$ ו-$K$ חבורה חדשה $G=H⋊K$.

הגדרה

ישנם שני מושגים הקשורים קשר הדוק שנקראים מכפלה חצי ישרה של חבורות:

• בהינתן חבורה $G$ ושתי תתי-חבורות שלה ניתן להגדיר מתי $G$ היא מכפלה חצי ישרה שלהן.
• בהינתן שתי חבורות ניתן להגדיר את המכפלה החצי ישרה שלהן.

מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות

חבורה $G$ נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורת שלה $K,H<G$ אם מתקיים:

• $H$ נורמלית ב-$G$
• $K\cap H=\{1\}$
• $KH=G$, כלומר כל איבר ב-$G$ ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב-$K$ ואיבר ב-$H$.

מכפלה חצי ישרה אבסטרקטית

יהיו $H$ ו-$K$ חבורות. נניח ש-$K$ פועלת על $H$ באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: קיים הומומורפיזם $\rho :K\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$ המתאים לכל איבר ב-$K$ אוטומורפיזם על $H$. לשם קיצור נסמן $(\rho (k))(h)={}^{k}h$.

נגדיר פעולה על הקבוצה $G=H\times K=\{(h,k)|h\in H,k\in K\}$ באופן הבא:

$(h_1,k_1)\cdot (h_2,k_2):=(h_1\cdot {}^{k_1}{h}_2,k_1{k}_2)$.

זו חבורה מסדר $|G|=|H|\cdot |K|$ (שכן יש יחידה $1_G=(1_H,1_K)$ וכל איבר הפיך $(h,k{)}^{-1}=({}^{k^{-1}}{h}^{-1},k^{-1})$) שנסמנה $G=H⋊K$.

קשר בין המושגים

• אם $G$ היא מכפלה חצי ישרה של שתי תתי-חבורות שלה $H$ ו-$K$, אז יש איזומורפיזם טבעי בין המכפלה החצי-ישרה (האבסטרקטית) שלהן (כחבורות) ל-$G$ כאשר הפעולה של $K$ על $H$ היא פעולת ההצמדה.
• אם מזהים אזי $H\cap K=\{1\}$ ו-$H$ תת-חבורה נורמלית של $G$.

יש שיכון טבעי של $H$ ו-$K$ ל-$H⋊K$:

• $H\cong \{(h,1)|h\in H\}$,
• $K\cong \{(1,k)|k\in K\}$.

שיכון זה מאפשר לחשוב על $H$ ו-$K$ כעל תת-חבורות של $H⋊K$. תחת שיכון זה $H⋊K$ היא המכפלה החצי ישרה של תתי-החבורות $H$ ו-$K$.

קישורים חיצוניים

• מכפלה חצי ישרה, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מכפלה חצי ישרה40146608Q291126