מצב (אנליזה פונקציונלית)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה פונקציונלית (ובמיוחד באנליזה ספקטרלית) מצב הוא פונקציונל לינארי חיובי המוגדר על אלגברת סי כוכב עם יחידה I ומקיים כי .

השם מצב נובע מהעובדה שבהינתן תיאור של מערכת קוואנטית באמצעות אלגברת סי כוכב, כל מצב פיזיקלי שבו המערכת יכולה להימצא מתואר על ידי פונקציונל כזה עד כדי נורמליזציה.

הגדרה כללית

בהינתן אלגברת סי כוכב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{U}} , אופרטור A יקרא חיובי אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma(A) \subset [0,\infty)} (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma(A)} הוא הספקטרום של A.

בהתאם, פונקציונל לינארי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} יקרא חיובי אם הוא מקיים כי לכל A חיובי.

אם בנוסף הפונקציונל מקיים כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(I)=1} נאמר כי הפונקציונל הנ"ל הוא מצב. את קבוצת המצבים נהוג לסמן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(\mathcal{U})}

מצב המקיים בנוסף כי הוא אינו צירוף קמור של זוג מצבים אחרים יקרא מצב טהור, קל להראות כי הגדרה זו שקולה לטענה כי אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\le\rho_0\le\rho} עבור מצב כלשהו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} , אזי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho=\lambda\rho_0} עבור סקלר כלשהו . את קבוצת המצבים הטהורים נהוג לסמן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(\mathcal{U})} .

הגאומטריה של קבוצת המצבים

נשים לב כי בהינתן שני מצבים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho_1, \rho_2} קל לראות כי הפונקציה כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in [0,1]} מגדירה פונקציונאל לינארי. כמו כן מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a\rho_1+(1-a)\rho_2)I = a\rho_1(I)+(1-a)\rho_2(I)=a + (1-a) = 1} לכן קבוצת המצבים היא קבוצה קמורה. מהגדרת המצב הטהור נובע באופן מידי שקבוצת המצבים הטהורים היא בדיוק קבוצת נקודות הקיצון של קבוצת המצבים, כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ext[S(\mathcal{U})] = P(\mathcal{U})} . כמו כן, נובע ישירות מהגדרת המצב ומההגדרה של הטופולוגיה החלשה כוכב כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(\mathcal{U})} סגורה בטופולוגיה זאת ולכן נובע ממשפט קריין-מילמן כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(\mathcal{U})=Cl_{w^\star}(P(\mathcal{U}))} .

הקשר בין מצבים לבין ספקטרום

הקשר בין מצבים לבין הספקטרום של אופרטור נתון על ידי הטענה הבאה.

טענה: בהינתן אופרטור A על אלברת סי כוכב ובהינתן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda\in\sigma(A)} קיים מצב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho\in P(\mathcal{U})} המקיים .

סקיצת הוכחה: נתבונן בתת-המרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{U}_0 = \{aA+bI | a,b\in\mathbb{C} \}} .

נגדיר עליו את האופרטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho_0(aA+bI) = \lambda a + b} , מאוד קל לראות כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho\in S(\mathcal{U})} ולכן ניתן להרחיב אותו באמצעות משפט האן-בנך לפונקציונל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho\in\mathcal{U}^{\#}} באופן משמר נורמה. קל לראות כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} הוא המצב הדרוש.

ידוע כי באלגברת סי כוכב איבר הוא צמוד לעצמו אם ורק אם הספקטרום שלו ממשי, כמו כן, איבר הוא אוניטרי אם ורק אם הספקטרום שלו מוכל במעגל היחידה. על ידי המשפט לעיל ניתן לראות שבאופן שקול איבר הוא צמוד לעצמו אם ורק אם הוא מקבל ערך ממשי על כל פונקציונל, וכי היא אוניטרי אם ורק אם הוא מקבל על כל פונקציונל ערך על מעגל היחידה. למעשה קיימת שקילות מוחלטת בין הספקטרום לערכים על פונקציונלים וכל תכונה נוספת שאפשר להגדיר בעזרת הראשון (כמו חיוביות, או אפסיות) ניתן להגדיר גם באמצעות השני.

את המשפט הנ"ל ניתן להפריט למצבים טהורים ולקבל את אותה השקילות דרך העובדה שכל מצב הוא צירוף קמור של מצבים טהורים.

ראו גם