משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות

סקיצת ההעתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים, עם תיאור הגרעין והתמונה

כללי

משפט הממדים עבור העתקות לינאריות הוא משפט באלגברה לינארית העוסק בשוויון עבור העתקה לינארית בין מימד התחום לבין מימד תמונת וגרעין ההעתקה הלינארית. יש להבדיל ממשפט הממדים עבור מרחבים וקטורים.
בכתיב מתמטי: יהי U ו-V תתי מרחבים וקטורים מעל שדה F. נגדיר את f להיות העתקה לינארית , $f:U\rightarrow V$, אזי

$$Dim_{F}Im(f)+Dim_{F}Ker(f)=Dim_{F}U$$

.

הוכחת המשפט

אסטרטגיה

נבחר בסיסים שמכילים מספר וקטורים מסומן כללי עבור התמונה וכך גם עבור הגרעין, ונראה שמקורות הווקטורים בבסיס התמונה מצורפים יחד עם וקטורי הבסיס של הגרעין מהווים בסיס עבור התחום. מכך, יינבע שסכום מספר הווקטורים בבסיס של הגרעין ומספר הווקטורים בבסיס התמונה (שזה אותו מספר הווקטורים שהם המקורות) שווה למספר הווקטורים בתחום. מכאן ינבע כי סכום מימד התמונה ומימד הגרעין שווה למימד התחום של העתקה לינארית, כנדרש.

הוכחה

בחירת סדרות וקטורים מתאימות

נקח את $u_{1},...,u_{k}$ להיות הבסיס של גרעין ההעתקה, ואת $v_{1},...,v_{m}$ להיות הבסיס של תמונת ההעתקה. מכאן, מימד הגרעין הוא k ומימד התמונה הוא m. נשים לב לכך שלכל וקטור בתמונה יש מקור מהתחום, כלומר ניתן לרשום את $v_{1},...,v_{m}$ כך: $f(w_{1}),...,f(w_{m})$. צריך להוכיח שמימד התחום הינו m+k. נעשה זאת על ידי הוכחה כי סדרת וקטורים $w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ מהווה בסיס של התחום U.

הוכחה כי סדרת הווקטורים פורשת את מרחב U

נראה כי $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})=U$. תחילה, נראה כי $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\subseteq U$: כל וקטור בסדרת הווקטורים $w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ מוכל בU בפני עצמו (שכן הגרעין הוא קבוצת וקטורים מהתחום, וגם המקורות של התמונה הם קבוצת וקטורים מהתחום). כעת, נראה כי $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\supseteq U$: נקח וקטור כללי מU ונסמנו u. נתבונן בהצגה היחידה של $f(u)$ על ידי בסיס התמונה: $f(u)=a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m}$. כעת, נתבונן בוקטור

$$u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})\in U$$

(השייכות לU כי U תמ"ו - סגור לחיבור ולכפל בסקלר). נפעיל את ההעתקה f על הווקטור בו אנו מתבוננים ונראה שלפי היותה f ה"ל משמרת חיבור וכפל בסקלר, מתקיים:

$$f(u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m}))=f(u)-(a_{1}\cdot f(w_{1})+...+a_{m}\cdot f(w_{m}))=$$

$$=a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m}-(a_{1}\cdot v_{1}+...+a_{m}\cdot v_{m})=0$$

לכן נובע ש$u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})\in Ker(f)$, ולכן יש לו ייצוג על ידי צירוף וקטורי בסיס הגרעין + וקטורי בסיס התמונה מוכפלים בסקלר האפס, כלהלן:

$$u-(a_{1}\cdot w_{1}+...+a_{m}\cdot w_{m})=b_{1}\cdot u_{1}+...+b_{k}\cdot u_{k}+0\cdot w_{1}+...+0\cdot w_{m}$$

. לכן, $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})\supseteq U$ כנדרש. בסה"כ, קיבלנו הכלה דו כיוונית ומכאן $Span(w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k})=U$.

הוכחה כי סדרת הווקטורים בלתי תלויים לינארית

כדי להוכיח אי-תלות לינארית נניח שעבור הסקלרים $c_{1},...,c_{m},s_{1},...,s_{k}$ הצירוף הלינארי של הווקטורים $w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ מביא לאפס השדה. צריך להוכיח כי $c_{1}=...=c_{m}=s_{1}=...=s_{k}=0_{F}$ (תנאי שקול לאי תלות לינארית). לפי הנחה זו:

$$c_{1}w_{1}+...+c_{m}w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k}=0_{U}$$

אז נפעיל על זה את ההעתקה הלינארית f:

$$f(c_{1}w_{1}+...+c_{m}w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k})=c_{1}f(w_{1})+...+c_{m}f(w_{m})+0+...+0=c_{1}v_{1}+...+c_{m}v_{m}=0$$

הפיתוח הנ"ל מתקיים משום ש-f ה"ל לכן משמרת חיבור וכפל בסקלר, והווקטורים של בסיס הגרעין שייכים לגרעין ולכן הפעלת ההעתקה עליהם מביאה לאפס. כעת, נזכור כי כל העתקה לינארית על וקטור האפס מביאה את אפס, ואם כן מכיוון ש $v_{1},...,v_{m}$ בסיס של התמונה, אזי המקדמים $c_{1},...,c_{m}$ הם אפסים. ואז, נחזור לביטוי בהנחה ונקבל $0\cdot w_{1}+...+0\cdot w_{m}+s_{1}u_{1}+...+s_{k}u_{k}=0_{U}$ ואז מאותם שיקולים של היות $u_{1},...,u_{k}$ בסיס, נובע ש$s_{1},...,s_{k}$ אפסים. בסה"כ, כל הסקלרים המקדמים הם בהכרח 0, ולכן קיבלנו ש $w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ בלתי תלוים לינארית, כנדרש.

סיכום

הראנו ש$w_{1},...,w_{m},u_{1},...,u_{k}$ סדרת וקטורים בלתי תלויה לינארית שפורשת את U ולכן הם מהווים בסיס עבור U. אם כן, נשים לב שמימדו של U הוא k+m. נזכור כי בתחילת ההוכחה הגדרנו את מימד התמונה להיות m ומימד הגרעין להיות k, אזי לפיכך נקבל:

$$Dim_{F}Im(f)+Dim_{F}Ker(f)=Dim_{F}U$$

שזה מה שצריך להוכיח.

קישורים חיצוניים

• Chris Fama, MP274 Lecture Notes 1991, numbertheory

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0