נוסחת ציאולקובסקי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף נוסחת ציולקובסקי)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

נוסחת ציאולקובסקי היא משוואה שפותחה על ידי מדען הטילים הרוסי קונסטנטין ציאולקובסקי, ופורסמה בשנת 1903. הנוסחה מבטאת את מהירותו הסופית של טיל כפונקציה של גורמים שונים. הנוסחה המלאה נראית כך:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v_{f}\ =v_{0}+v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v_0 } היא המהירות ההתחלתית של הטיל, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ v_e } היא מהירות הגזים הנפלטים מהטיל, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m_0 } פירושו המסה ההתחלתית של הטיל, ו־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m_f } פירושו המסה הסופית שלו. הנוסחה ונגזרותיה מאפשרים לחשב מהי כמות הדלק הנדרשת לטיל על מנת להשיג מהירות מסוימת - ובעצם מאפשרת לדעת מה נדרש לטיל על מנת לעבור בין גרמי שמים כאשר מתעלמים מהשפעת כוח המשיכה.

פיתוח ניוטוני

המהירות של גוף היא האינטגרל של התאוצה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_f\ =v_0 + \int_{0}^{t_f} a(t)\, dt}

לפי החוק השני של ניוטון:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\ = m(t)\cdot a(t)}

לכן:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(t) = \frac{F}{m(t)}}

וידוע לפי חוקי ניוטון ש:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {dp \over dt}= F}

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p } מציין מתקף.

נציב בנוסחה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(t) = \frac{{dp \over dt}}{m(t)}}

המתקף של גוף הוא השינוי בתנע:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dp = m(v_2 - v_1)}

אם מדובר על הדלק שנפלט מהטיל אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_1} שווה לאפס כי הוא לפני שהוא נפלט מהירותו הייתה שווה מהירות הטיל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_1 = 0}

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v_{2}} הוא מהירות פליטת הדלק, נסמן:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_2 = v_e}

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_2 - v_1 = v_e - 0 = v_e}

הוא דיפרנציאל המסה של הדלק שנפלט.

נציב:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dp = dm\cdot v_e}

נציב בנוסחה של התאוצה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(t) = \frac{{dm \cdot v_e \over dt}}{m(t)}}

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(t) = v_e\cdot \frac{{dm \over dt}}{m(t)}}

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(t) = m_0 - ({dm \over dt})\cdot t_f}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {dm \over dt}} הוא קצב הפליטה של הדלק.

נציב בנוסחה של התאוצה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a(t) = v_e\cdot \frac{{dm \over dt}}{m_0 - ({dm \over dt})\cdot t_f}}

לפי הנוסחה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{}^{} \frac {k}{l - kx}\, dt = -\ln(l - kx) + C}

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = {dm\over dt}}

ואם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l = m_0}

אז

זאת אומרת:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_e\cdot [\ln(m_0) - \ln(m(t))] = v_e\cdot \ln \frac {m_0} {m_f}}

לכן:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_f\ =v_0 + v_{e} \ln \frac {m_0} {m_f}}

רקע היסטורי

משוואות ההנעה הרקטית פורסמו על ידי ציולקובסקי בשנת 1903, ובמשך שנים נחשב ציולקובסקי לראשון שהגה אותן. עם זאת, מחקר מהעת האחרונה גילה חישובים דומים שנערכו בבריטניה בשנת 1813, לשם בחינת היעילות של רקטות קרקע קרקע ששימשו למטרות לחימה. משוואות אלה הופיעו בחיבור מאת ויליאם מור, שנקרא מסה על תנועת רקטות (A Treatise on the Motion of Rockets).

שימוש בנוסחה לטילים רב־שלביים

ציולקובסקי הניח בעבודתו את הייסוד לבניית טיל רב־שלבי. בטיל כזה, נושר שלב לאחר גמר הדלק שהיה בו, והטיל יכול להמשיך ולהאיץ, עד להשגת המהירות הנדרשת לשם הגעה לחלל או ליציאה משדה הכבידה של גרמי שמיים שונים.

ראו גם