נוסחת קרמר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה לינארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר, על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות לינאריות בעזרת דטרמיננטות.

מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי חד־משמעי של פתרון המערכת, מה שגם מאפשר להוכיח תכונות של מטריצות ודטרמיננטות. כך למשל הנוסחה מספקת ביטוי מפורש לאבר הכללי של מטריצה הפוכה, באופן שנובע ממנו כי מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מ־0.

נוסחת קרמר

כידוע מאלגברה לינארית, למערכת משוואות ריבועית (כלומר, מספר המשתנים שווה למספר המשוואות) המיוצגת על ידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\vec x=\vec b} , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מטריצה ריבועית ו־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec b} הוא וקטור עמודה, קיים פתרון יחיד אם ורק אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A)\ne0} .

על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} של וקטור הפתרון נתון על ידי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k=\frac{\det(A_k)}{\det(A)}}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_k} המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} שבמטריצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} בווקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec b} .

דוגמה

נתונה מערכת המשוואות

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases}x+2y+3z=2\\4x+5y+6z=2\\7x+8y+8z=4\end{cases}}

כלומר המערכת מיוצגת על ידי המטריצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&8\end{bmatrix}} והווקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=\begin{bmatrix}\color{red}2\\\color{red}2\\\color{red}4\end{bmatrix}} .

נחשב את הדטרמיננטות:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\det(A)&=\det\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&8\end{bmatrix}=3\\ \det(A_1)&=\det\begin{bmatrix}\color{red}2&2&3\\\color{red}2&5&6\\\color{red}4&8&8\end{bmatrix}=-12\\ \det(A_2)&=\det\begin{bmatrix}1&\color{red}2&3\\4&\color{red}2&6\\7&\color{red}4&8\end{bmatrix}=18\\ \det(A_3)&=\det\begin{bmatrix}1&2&\color{red}2\\4&5&\color{red}2\\7&8&\color{red}4\end{bmatrix}=-6\end{align}}

והפתרון נתון על ידי

הוכחה

בעזרת התכונות של פונקציית נפח

נניח כי נתונה המערכת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\vec x=\vec b} . נסמן את עמודות המטריצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_n} . הטענה כי הווקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1,\ldots,x_n)} פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i=b}

נחשוב על הדטרמיננטה כעל פונקציית נפח, המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A)=\det(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}

הדטרמיננטה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A_k)} מתקבלת מהחלפת העמודה ה־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} בעמודה . כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A_k)=\det(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1},b,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)=\det\left(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1},\sum_{i=1}^nx_i \alpha_i,\alpha_{k+1},\dots,\alpha_n\right)}

מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא לינארית בכל רכיב, מתקבל

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A_k)=\sum_{i=1}^nx_i\det(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1},\alpha_i,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)}

ומתכונת פונקציית הנפח, לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i\ne k} מתקיים כי ולכן נותרנו עם

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det(A_k)=x_k\det(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1},\alpha_k,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)=x_k\det(A)}

ולכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k=\frac{\det(A_k)}{\det(A)}} .

בעזרת הרחבת המטריצה

נניח כי נתונה מערכת לא הומוגנית:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1,\ldots,x_n)} הוא וקטור הפתרון (היחיד) של המערכת. לחישוב האבר ה־ של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec x} , נוסיף למערכת משוואה אחת, כך:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}&\dots&\dots&\dots&a_{1n}&b_1\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&\dots&\dots&\dots&a_{nn}&b_n\\0&\dots&1&\dots&0&x_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\\vdots\\0\end{bmatrix}}

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האברים הם אפס, פרט לעמודה ה־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} ולעמודה ה־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} . מכיוון שהווקטור פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1,x_2,\ldots,x_n,-1)} פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. טענה מאלגברה לינארית אומרת כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה, ונשים לב כי המינור ה־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_k} מוכפל בגורם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1)^{n-k}} , מכיוון שלצורך הבאת העמודה האחרונה למקום ה־ יש לבצע על העמודות תמורה שהיא מחזור באורך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-k+1} . בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1)^{n+1+k}} ולכן מתקבל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1)^{n+1+k+n-k}\det(A_k)+(-1)^{n+1+n+1}x_k\det(A)=x_k\det(A)-\det(A_k)=0}

כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_k=\frac{\det(A_k)}{\det(A)}} .


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0