סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא מקרה פרטי של הסדרה ההנדסית, בו מנת הסדרה היא בין 1 לבין 1- (לא כולל הקצוות ו-0). נהוג לסמן את המנה באות q ולכן .

סדרה הנדסית אינסופית שאינה מקיימת תנאי זה נקראת סדרה הנדסית מתבדרת.

הוכחת נוסחאת סכום הסדרה ההנדסית האינסופית

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
דיאגרמה להמחשת סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת ל-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2}

נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(a_n\right)_{n=1} ^\infty = a_1,a_2,a_3,a_4,...} . על פי הגדרת הסדרה ההנדסית המתכנסת, מנת הסדרה מקיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q|<1} ולכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to \infin}q^n=0} .


את סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת מסמנים באות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} או לעיתים ב-. ניתן לחשב את הסכום החלקי של סדרה הנדסית עם הנוסחה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{n}=\frac{a_{1}(q^n-1)}{q-1}} . משמעות העובדה שסכום הסדרה מתכנס היא שהגבול של הביטוי לסכום קיים. בניסוח אחר:הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to \infin}S_{n}=\lim_{n\to \infin}\frac{a_{1}(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_{1}(\lim_{n\to \infin}q^n-1)}{q-1}=\frac{a_{1}(0-1)}{q-1}=\frac{a_{1}(-1)}{q-1}=\frac{a_{1}}{1-q}} ניתן לראות זאת גם בדוגמה מספרית. סכום הסדרה המקיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{1}=1, q=\frac{1}{2}} מתכנס ל-2 לפי החישוב הבא: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2} .

ראו גם

קישורים חיצוניים

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0