סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת היא מקרה פרטי של הסדרה ההנדסית, בו מנת הסדרה היא בין 1 לבין 1- (לא כולל הקצוות ו-0). נהוג לסמן את המנה באות q ולכן $|q|<1$.

סדרה הנדסית אינסופית שאינה מקיימת תנאי זה נקראת סדרה הנדסית מתבדרת.

הוכחת נוסחאת סכום הסדרה ההנדסית האינסופית

דיאגרמה להמחשת סכום הסדרה ההנדסית $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}...$ המתכנסת ל-$2$

נניח כי נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית המתכנסת ${\left(a_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}=a_1,a_2,a_3,a_4,...$. על פי הגדרת הסדרה ההנדסית המתכנסת, מנת הסדרה מקיימת $|q|<1$ולכן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}^n=0$.

את סכום הסדרה ההנדסית המתכנסת מסמנים באות $S$ או לעיתים ב-$S_{\mathrm{\infty }}$. ניתן לחשב את הסכום החלקי של סדרה הנדסית עם הנוסחה: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. משמעות העובדה שסכום הסדרה מתכנס היא שהגבול של הביטוי לסכום קיים. בניסוח אחר:$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{q}^n-1)}{q-1}=\frac{a_1(0-1)}{q-1}=\frac{a_1(-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}$$ ניתן לראות זאת גם בדוגמה מספרית. סכום הסדרה המקיימת $a_1=1,q=\frac{1}{2}$ מתכנס ל-2 לפי החישוב הבא: $S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.

ראו גם

• סדרה הנדסית
• טור הנדסי

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', מהו גבול? (של סדרה), באתר "לא מדויק", 3 באוקטובר 2010

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת25376907