סדרה מדויקת

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, סדרה מדויקת היא סדרה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cdots A_i \stackrel{f_{i}}{\rightarrow} A_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots} , שבה כל הרכבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{i+1}\circ f_i} שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו.

המבנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_i} יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית.

סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה.

הגדרה

נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_i} ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}} . נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_i} אם מתקיים השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i} . הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_i} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} .

למשל:

• הסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B } מדויקת אם ורק אם $f$ הוא מונומורפיזם.
• הסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0} מדויקת אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} הוא אפימורפיזם.
• ביחד, הסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0} היא מדויקת, אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} הוא איזומורפיזם.

סדרה מדויקת קצרה

כאמור לעיל, הסדרות הקצרות ביותר מספקות מידע טריוויאלי. הסדרה הראשונה שמספקת מידע מהותי היא מהצורה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0} .

סדרה כזו, הקרויה סדרה מדויקת קצרה, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} , והטלה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} , שהגרעין שלה הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} . לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} , בהכרח $G/H\cong N$ - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} איזומורפי לקו-גרעין של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i : H \hookrightarrow G} , שהוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i)} .

סדרה מדויקת מתפצלת

הסדרה המדויקת הקצרה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0} .

נקראת מתפצלת, אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:

• קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r:G \to H} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r \circ i = id_H} .
• קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q:N \to G} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \circ q = id_N}
• קיימת תת-חבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J \subseteq G} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = im(i) \oplus J} .

המקרה הזה ודאי חזק יותר מסדרה מדויקת רגילה. בעוד שהמקרה הקודם תיאר מנה, המקרה הזה מתאר סכום ישר. כלומר, מסדרה כזו ניתן להסיק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=H \oplus N} .

כאשר האובייקט $N$ הוא חופשי (כמו חבורה חופשית או מודול חופשי), הסדרה המדויקת גם מתפצלת. אותה טענה על כל אחת משתי החבורות האחרות (וגם על שתיהן) לא נכונה.

דוגמה

נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto 2z}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{z \mapsto z \pmod{2}}{\longrightarrow}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}

כאשר ההעתקה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} היא העתקת המנה. התמונה של ההעתקה הראשונה היא תת-החבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות. סדרה זו איננה מתפצלת, שכן התמונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \mathbb{Z}} איננה מחובר ישר של אף תת-חבורה. דוגמה זו שימושית במיוחד בהוכחה שהשפה של טבעת מביוס איננה נסג שלה.

פונקטור מדויק

פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F:A\rightarrow B} בין שתי קטגוריות אבליות הוא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots \rightarrow A_i \rightarrow A_{i+1} \rightarrow A_{i+2} \rightarrow \dots} הסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots \rightarrow FA_i \rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2} \rightarrow \dots} המתקבלת לאחר הפעלת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים.

קישורים חיצוניים

• סדרה מדויקת, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

סדרה מדויקת30405095