גרעין (אלגברה)

גרעין (באנגלית: Kernel) של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האיברים שההומומורפיזם מעביר אל האיבר הנייטרלי (לדוגמה: איבר האפס של מרחב וקטורי, איבר האפס של חוג, האיבר הנייטרלי של חבורה). הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה $f:A\to B$ ב- ${\text{Ker}}(f)$ או $\ker(f)$ (לעיתים משמיטים את הסוגריים ורושמים $\ker f$ ).

דוגמאות

אם $T:V\to W$ הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו ${\text{Ker}}(T)=\{v\in V:T(v)=0\}$ הוא תת-מרחב של $V$ , שממדו $\dim(V)-{\text{rank}}(T)$ .
אם $f:G\to H$ הומומורפיזם של חבורות, הגרעין ${\text{Ker}}(f)=\{x\in G:f(x)=e_{H}\}$ הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה $G/{\text{Ker}}(f)$ איזומורפית לתמונה ${\text{Im}}(f)$ .
אם $f:R\to S$ הומומורפיזם של חוגים, הגרעין ${\text{Ker}}(f)=\{x\in R:f(x)=0\}$ הוא אידיאל דו-צדדי, וחוג המנה $R/{\text{Ker}}(f)$ איזומורפי לתמונה ${\text{Im}}(f)$ .
אם $f:M\to N$ הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין ${\text{Ker}}(f)=\{x\in M:f(x)=0\}$ הוא תת-מודול של $M$ , ומודול המנה $M/{\text{Ker}}(f)$ איזומורפי לתמונה ${\text{Im}}(f)$ .
ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה מנוקדת (pointed set). אם $f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז ${\text{Ker}}(f)=\{x\in X:f(x)=y_{0}\}$ .