סימן לז'נדר

סימן לז'נדר הוא מושג בתורת המספרים. הסימן קרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר. סימן לז'נדר מופיע בהקשר של פירוק לגורמים ושארית ריבועית.

סימן יעקובי הוא הרחבה של סימן לז'נדר.

הגדרה

תחום הפונקציה $\left(\frac{a}{p}\right)$ הוא קבוצת כל הזוגות הסדורים $⟨p,a⟩$ כאשר $p$ ראשוני אי־זוגי ו־$a$ שלם, וּטווח הפונקציה הוא $\{-1,0,1\}$.

עבור כל זוג $⟨p,a⟩$ סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

$a$ מתחלק ב־$p$ ללא שארית; $a$ אינו מתחלק ב־$p$ וקיים $x$ שלם המקיים $x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$, כלומר $a$ שארית ריבועית של $p$; $a$ אינו מתחלק ב־$p$ ולא קיים $x$ שלם המקיים $x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$, כלומר $a$ אינו שארית ריבועית של $p$.

$\left(\frac{a}{p}\right)=\{\begin{array}{ccc}0& a\equiv 0(\mathrm{mod}p)& \\ 1& a\equiv ̸0(\mathrm{mod}p);& a\equiv x^2(\mathrm{mod}p)\\ -1& a\equiv ̸0(\mathrm{mod}p);& a\equiv ̸x^2(\mathrm{mod}p)\end{array}$

הגדרתו המקורית של לז'נדר הייתה באמצעות הנוסחה המפורשת:

$\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\mathrm{mod}p)\text{ and }\left(\frac{a}{p}\right)\in \{-1,0,1\}$.

תכונות סימן לז'נדר

יהיו $p,q$ ראשוניים אי־זוגיים ו־$a,b$ שלמים, אזי:

1. $\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\cdot \left(\frac{b}{p}\right)$
2. אם $a\equiv b(\mathrm{mod}p)$ אז $\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)$
3. $\left(\frac{1}{p}\right)=1$
4. $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }p\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ -1& \text{ if }p\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}$
5. $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)\\ -1& \text{ if }p\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8)\end{array}$
6. $\left(\frac{3}{p}\right)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}12)\\ -1& \text{ if }p\equiv \pm 5(\mathrm{mod}12)\end{array}$
7. $\left(\frac{5}{p}\right)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}5)\\ -1& \text{ if }p\equiv \pm 2(\mathrm{mod}5)\end{array}$
8. $\left(\frac{p}{q}\right)\cdot \left(\frac{q}{p}\right)={(-1)}^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}$ (משפט ההדדיות הריבועית)

ראו גם

• שארית ריבועית
• סימן יעקובי
• משפט ההדדיות הריבועית
• פולינום פקטה

קישורים חיצוניים

• סימן לז'נדר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

סימן לז'נדר34176184Q748339