סימן לז'נדר

סימן לז'נדר הוא מושג בתורת המספרים. נקרא על של המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר, ומופיע בהקשר של פירוק לגורמים ושארית ריבועית.

סימן יעקובי הוא הרחבה של סימן לז'נדר.

הגדרה

יהי $p$ מספר ראשוני אי־זוגי ו־$a$ שלם. סימן לז'נדר מוגדר להיות:

$a$ מתחלק ב־$p$ ללא שארית: $a$ שארית ריבועית של $p$: $a$ אינו שארית ריבועית של $p$:

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\pmod {p}}\\1&x^{2}\equiv a\not \equiv 0{\pmod {p}}\\-1&x^{2}\not \equiv a\not \equiv 0{\pmod {p}}\end{cases}}$

הגדרתו המקורית של לז'נדר היתה באמצעות הנוסחא המפורשת:

$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}\!{\pmod {p}}\quad :\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}$

תכונות סימן לז'נדר

אם $p,q$ ראשוניים אי־זוגיים ו־$a,b$ שלמים אזי:

1. $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$
2. אם מתקיים $a\equiv b\!{\pmod {p}}$ אזי מתקיים גם: $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$
3. $\left({\frac {1}{p}}\right)=1$
4. $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&:p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&:p\equiv -1{\pmod {4}}\end{cases}}$
5. $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\\-1&:p\equiv \pm 3{\pmod {8}}\end{cases}}$
6. $\left({\frac {3}{p}}\right)={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {12}}\\-1&:p\equiv \pm 5{\pmod {12}}\end{cases}}$
7. $\left({\frac {5}{p}}\right)={\begin{cases}1&:p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&:p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}$
8. $\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)}$ (משפט ההדדיות הריבועית)

ראו גם

• שארית ריבועית
• סימן יעקובי
• משפט ההדדיות הריבועית

קישורים חיצוניים

• סימן לז'נדר, באתר MathWorld (באנגלית)