קוהומולוגיית הוכשילד

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, הומולוגיית הוכשילד היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד (Gerhard Hochschild) ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר (Murray Gerstenhaber) כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.

הגדרה

תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.

אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן: ו- , כאשר . להלן נציג הגדרה מפורשת.

הרזולוציה החופשית

האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. קומפלקס הוכשילד הוא הקומפלקס , שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי ; כאן היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).

קומפלקס הקו-שרשרת

כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות . קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא , כאשר .

הקומוהולוגיה

מכיוון ש- מתקיים גם , ולכן . בהתאם לכך, מגדירים את מרחבי הקוהומולוגיה (עבור ) כמנות , כאשר .

הממד

אם M בימודול אינג'קטיבי, אז לכל . אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז לכל ולכל בי-מודול M. הממד של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.

מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים

לפי ההגדרה, (ה"מרכז" של M).

נגזרות

הגרעין של הוא אוסף הנגזרות הפורמליות , בעוד שתמונת כוללת את הנגזרות הפנימיות, . אם כך, אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה .

הרחבות

הרחבה של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש- ו-, כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן אם ורק אם כל הרחבה מתפצלת (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).

דפורמציות

תהי A אלגברה אסוציאטיבית. דפורמציה של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית * של המרחב , המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר . שתי דפורמציות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על ). חישוב מראה שהרכיב לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של ), ולכן קובע מחלקה ב-. איבר כזה נקרא אינטגרבילי אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר).

קישורים חיצוניים

Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0