קוהומולוגיית הוכשילד

במתמטיקה, הומולוגיית הוכשילד היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד (Gerhard Hochschild) ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר (Murray Gerstenhaber) כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.

הגדרה

תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה $\ \operatorname {\operatorname {HH} } ^{n}(A,M)$ של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.

אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן: $\operatorname {HH} _{n}(A,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M)$ ו- $\operatorname {HH} ^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M)$ , כאשר $A^{e}=A\otimes A^{op}$ . להלן נציג הגדרה מפורשת.

הרזולוציה החופשית

האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית $\ A^{\otimes n}=A\otimes _{k}\cdots \otimes _{k}A$ היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. קומפלקס הוכשילד הוא הקומפלקס $\ \cdots {\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}A^{\otimes 3}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}A^{\otimes 2}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0$ , שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי $\ d(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n+2})=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n+2}$ ; כאן $\ \mu$ היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).

קומפלקס הקו-שרשרת

כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור $\ \operatorname {Hom} _{A-A}(-,M)$ על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות $\operatorname {Hom} _{A-A}(A^{\otimes n+2},M)=\operatorname {Hom} _{k}(A,M)$ . קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא $\operatorname {Hom} _{k}(k,M){\stackrel {\delta _{0}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{k}(A,M){\stackrel {\delta _{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{k}(A\otimes A,M){\longrightarrow }\cdots$ , כאשר $\ (\delta _{n-1}f)(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{1}f(a_{2}\otimes \cdots \otimes a_{n})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}f(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n})+(-1)^{n+1}f(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1})a_{n}$ .

הקומוהולוגיה

מכיוון ש- $\ d^{2}=0$ מתקיים גם $\delta ^{2}=0$ , ולכן $\operatorname {im} \delta _{n-1}\subseteq \operatorname {ker} \delta _{n}$ . בהתאם לכך, מגדירים את מרחבי הקוהומולוגיה (עבור $\ n\geq 0$ ) כמנות $\operatorname {HH} ^{n}(A,M)=\operatorname {ker} \delta _{n}/\operatorname {im} \delta _{n-1}$ , כאשר $\delta _{-1}=0$ .

הממד

אם M בימודול אינג'קטיבי, אז $\ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=0$ לכל $\ n\geq 1$ . אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז $\ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=0$ לכל $\ n\geq 1$ ולכל בי-מודול M. הממד של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו $\ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)\neq 0$ למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.

מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים

לפי ההגדרה, $\ \operatorname {HH} ^{0}(A,M)=\{m\in M\,:\,am=ma\ (\forall a\in A)\}$ (ה"מרכז" של M).

נגזרות

הגרעין של $\ \delta _{1}$ הוא אוסף הנגזרות הפורמליות $\ A\rightarrow M$ , בעוד שתמונת $\ \delta _{0}$ כוללת את הנגזרות הפנימיות, $a\mapsto [a,m]$ . אם כך, $\ \operatorname {HH} ^{1}(A,M)=0$ אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב $\ \operatorname {HH} ^{1}(A,M)$ ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה $\ A\ltimes M=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&m\\0&a\end{array}}\right)\right\}$ שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה $\left({\begin{array}{cc}1&m\\0&1\end{array}}\right)$ .

הרחבות

הרחבה של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש- $\ M^{2}=0$ ו- $\ B/M\cong A$ , כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב $\ \operatorname {HH} ^{2}(A,M)$ ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן $\ \operatorname {HH} ^{2}(A,M)=0$ אם ורק אם כל הרחבה מתפצלת (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).

דפורמציות

תהי A אלגברה אסוציאטיבית. דפורמציה של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית * של המרחב $\ A[[t]]=\sum _{n=0}^{\infty }At^{n}$ , המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר $\ a*b=ab+F_{1}(a,b)t+F_{2}(a,b)t^{2}+\cdots$ . שתי דפורמציות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם $\ \operatorname {HH} ^{2}(A,A)=0$ אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על $A[[t]]$ ). חישוב מראה שהרכיב $\ F_{1}$ לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של $\delta _{2}$ ), ולכן קובע מחלקה ב- $\operatorname {HH} ^{2}(A,A)$ . איבר כזה נקרא אינטגרבילי אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם $\ \operatorname {HH} ^{3}(A,A)=0$ אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר).