שדה המחלקה של הילברט

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

שדה המחלקה של הילברט, עבור שדה מספרים נתון , הוא ההרחבה הקטנה ביותר שבה כל האידיאלים בחוג השלמים של נעשים ראשיים. שדה המחלקה הוא הרחבת גלואה של , וחבורת גלואה של ההרחבה איזומורפית לחבורת המחלקות של K.

הגדרה

יהי שדה מספרים (הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים ). שדה המחלקה של הילברט הוא הרחבת גלואה האבלית הלא-מסועפת המקסימלית של .

תכונות

  • ההרחבה היא הרחבת גלואה מממד סופי של ומקיימת כאשר היא חבורת מחלקות האידיאלים (class group) של (חבורה זו מורכבת ממחלקות השקילות של אידיאלים בחוג השלמים של , עם יחס השקילות שאידיאלים ו- שקולים אם הם שווים עד כדי כפל באידיאלים ראשיים: ).
  • חבורת מחלקות האידיאלים איזומורפית לחבורת גלואה של ההרחבה: .
  • כל אידיאל ב- הוא אידיאל ראשי ב-.
  • כל אידיאל ראשוני ב- מתפרק למכפלה של אידיאלים ראשוניים ב- כאשר הוא הסדר של בחבורת מחלקות האידיאלים .

מסקנה

מתכונות אלו ברור ש- הוא תחום ראשי אם ורק אם , כלומר: הוא שדה המחלקה של עצמו. במקרה זה חבורת גלואה של ההרחבה היא טריוויאלית, ואז גם חבורת מחלקות האידיאלים טריוויאלית: כלומר - כל האידיאלים בחוג השלמים הם ראשיים.

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0