תגובת הלם

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בעיבוד אותות, תגובת ההלם של מערכת לינארית היא מוצא המערכת עבור כניסה של פונקציית הלם. תגובת ההלם של מערכת מאפיינת אותה באופן מלא, וניתן בעזרתה לחשב את מוצא המערכת עבור כל כניסה.

הגדרה

מערכת לינארית כללית מתוארת על ידי:

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x(t)} פונקציית הכניסה למערכת, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y(t)} פונקציית מוצא המערכת ו-O האופרטור הלינארי המגדיר את המערכת ומקשר ביניהן. ברוב המקרים הפונקציות הן של הזמן. כתוצאה מהלינאריות של האופרטור, לכל שתי כניסות ו-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x_2(t)} ולכל שני סקלרים c1 ו-c2 מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ O(c_1x_1(t)+c_2x_2(t))=c_1O(x_1(t))+c_2O(x_2(t))=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)}

פונקציית התגובה להלם של מערכת לינארית היא יציאת המערכת עבור כניסה בצורת פונקציית דלתא של דיראק, הנקראת גם פונקציית הלם:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(t_1,t_2) \equiv y(t) |_{t=t_2}= O(\delta(t-t_1))_{t=t_2}}

אחת התכונות של פונקציית דלתא של דיראק היא שניתן לכתוב פונקציה כללית בצורה הבאה:

תוך שימוש בתכונת הלינאריות של האופרטור, מוצא המערכת עבור הכניסה הכללית הוא:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(t) = O(x(t)) = O(\int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) \delta(t-t_1) dt_1) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) O(\delta(t-t_1)) dt_1 = \int_{-\infty}^{\infty} x(t_1) h(t,t_1) dt_1}

התגובה להלם היא למעשה פונקציית גרין של המשוואה המגדירה אותה, והשוויון לעיל הוא משפט גרין. התוצאה היא שתגובת ההלם של מערכת מאפיינת אותה באופן מלא, וניתן בעזרתה לחשב את מוצא המערכת עבור כל כניסה שהיא. בעיבוד אותות, מערכת מוגדרת על ידי תגובת ההלם שלה ולא על ידי אופרטור.

מערכות LTI

מערכת לינארית בלתי משתנה בזמן (באנגלית: Linear Time-Invariant, ובקיצור: מערכת LTI) היא מערכת לינארית שבה גם מתקיים:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ y(t+\tau )=O(x(t+\tau ))}

לכל . במערכת כזו התגובה להלם תלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת ההלם ולא ברגע ההלם עצמו. כתוצאה מכך, תגובת ההלם היא פונקציה רק של ההפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר של משתנה אחד. מוצא המערכת הוא קונבולוציה בין תגובת ההלם לכניסה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(t) = x(t) * h(t) = \ \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau}

תכונה זו הופכת מערכות LTI לנוחות במיוחד לניתוח במישור המרוכב. לפי משפט הקונבולוציה, מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y(s) = H(s)X(s)}

כאשר הפונקציות המסומנות באותיות הגדולות הן התמרת לפלס של הפונקציות המסומנות באותיות הקטנות. המכפלה שלהן פשוטה לחישוב הרבה יותר מאשר פעולת הקונבולוציה. הפונקציה נקראת פונקציית התמסורת של המערכת והיא ניתנת לחישוב בקלות על ידי לקיחת התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, שהופכת כך למשוואה אלגברית. דוגמה למערכת כזו היא מערכת המתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית לינארית מהצורה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d^n y}{dt^n} + A_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_1\frac{dy}{dt} + A_0y(t) = B_m\frac{d^m x}{dt^m} + B_{m-1}\frac{d^{m-1}x}{dt^{m-1}} + \cdots + B_1\frac{dx}{dt} + B_0x(t)}

כאשר המקדמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1...A_n, B_0...B_m} הם קבועים שאינם תלוים בזמן. לאחר לקיחת התמרת לפלס לשני אגפי המשוואה מתקבלת פונקציית תמסורת שהיא פונקציה רציונלית - מנה של שני פולינומים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{B_ms^m+B_{m-1}s^{m-1}+...+B_1s+B_0}{s^n+A_{n-1}s^{n-1}+...+A_1s+A_0}}

תגובת ההלם, שהיא התמרת לפלס הפוכה של פונקציה זו, היא סכום של פונקציות מעריכיות (שיכולות להיות גם אקספוננטים מרוכבים) שכל אחת מהן היא התמרת לפלס של שבר חלקי בפירוק לשברים חלקיים של פונקציית התמסורת. במידה וקיימת לתגובת ההלם התמרת פורייה מתכנסת, ההתמרה של תגובת ההלם, הנקראת תגובת התדר של המערכת, מסומנת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H(\omega)} . לחלופין, היא ניתנת לחישוב על ידי הצבת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s=i\omega} בפונקציית התמסורת ותגובת ההלם תתקבל על ידי התמרת פורייה הפוכה.