קונוולוציה

מתוך המכלול
(הופנה מהדף קונבולוציה)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קונוולוציה (או: קיפול) היא פעולה בינארית בין שתי פונקציות או סדרות ערכים, שיש לה שימושים בהתמרות אינטגרליות כדוגמת התמרת פורייה, בעיבוד אותות, בסטטיסטיקה ובתחומים נוספים במתמטיקה, פיזיקה והנדסה. מקובל לסמן את הקונבולוציה בסימון .

הגדרה

המשמעות הגרפית של קונוולוציה

קונוולוציה של פונקציות

הקונוולוציה (f(t בין שתי הפונקציות (h(t ו-(g(t גם היא פונקציה של t והיא מוגדרת כך:


הקונוולוציה בין הסדרות הבדידות [h[n ו-[g[n מוגדרת:

הקונוולוציה היא סך השטח הכלוא מתחת למכפלת שתי הפונקציות כאשר אחת מהן משוקפת סביב הציר האנכי ומוזזת ב-t. המשתנה t לאו דווקא מסמל זמן, ובתחומים שונים הפונקציות הן של משתנים שונים. ניתן להתייחס לקונוולוציה כממוצע נע משוקלל: (f(t היא הממוצע של הפונקציה (g(τ לפי פונקציית המשקל (h(-τ המוזזת ב-t (או המשתנה עם הזמן).

קונוולוציה של סדרות

הקונוולוציה של הסדרות ו- היא הסדרה . בדומה לזה מוגדרת קונוולוציה של טורים כטור המתאים לקונוולוציה של הסדרות המתאימות. לפי משפט קושי (תורת הטורים), הקונוולוציה של טורים המתכנסים בהחלט מתכנסת בהחלט.

קונוולוציה מעגלית

אם הפונקציה היא מחזורית עם מחזור T, כך שניתן לכתוב אותה כסכום:

אז הקונוולוציה של עם פונקציה שאינה מחזורית גם היא מחזורית עם מחזור T וניתן לרשום אותה כך:

ניתן לראות זאת כסכימה של השטח מתחת למכפלת מחזור אחד של בהזזות של הפונקציה (h(t, במקום סכימה של השטח מתחת למכפלה של הזזות של מחזור אחד של הפונקציה בפונקציה . נקראת הקונוולוציה המעגלית או הקונוולוציה הציקלית של ו-. כלומר, הקונוולוציה המעגלית של שתי פונקציות שאינן מחזוריות היא קונוולוציה רגילה בין הפונקציה האחת לבין פונקציה מחזורית שמחזור שלה זהה לקטע מן הפונקציה השנייה.

אם נגדיר פונקציה מחזורית כפונקציה שמחזור שלה זהה לקטע מהפונקציה :

אז ניתן לכתוב את הפונקציה כך:

והיא נקראת הקונוולוציה המחזורית של ו-. כלומר, הקונוולוציה המחזורית של שתי פונקציות מחזוריות עם מחזור משותף T דומה לקונוולוציה רגילה, אלא שהאינטגרציה נעשית על פני זמן באורך של מחזור אחד T, כאשר to שרירותי.

אינטואיציה

לשם המחשת המושג ניקח דוגמה מתחום האקוסטיקה. נניח שאנו נמצאים בחדר אשר מחזיר הד עבור קולות הנשמעים בו. אם נשמיע קול בחדר זה ההד יתנהג בצורה הבאה: לאחר שנייה אחת עוצמת הקול שנשמעת היא חצי מהקול המקורי, לאחר שתי שניות היא רבע ממנו, וכן הלאה. ובאופן כללי: (כאשר h היא ההגבר). נניח כי מוצב תוף בחדר ואדם מכה בו כל שנייה בעוצמה אחרת, ו- היא הסדרה המייצגת את עוצמת ההכאה בכל שנייה. אם אנחנו מעוניינים לדעת לאחר זמן מסוים מה תהיה עוצמת הקול בחדר, עלינו לסכום את התרומות של כל הקולות שנעשו מאז תחילת התיפוף ועד הזמן שאנחנו מעוניינים בו. הבעיה היא שעבור כל הכאה בתוף עבר זמן שונה ונצטרך להתחשב בו. הדרך לחשב זאת הוא לחבר את העוצמה שנשמעה ברגע זה עם חצי העוצמה שנשמעה בשנייה הקודמת עם רבע מהעוצמה שנשמעה בשנייה שלפני כן וכן הלאה עד לתחילת התיפוף, כלומר:

ביטוי זה שקיבלנו הנו הקונוולוציה בזמן בדיד אך אפשר בקלות לקבל ביטוי דומה עבור זמן רציף.

תכונות

הקונבולוציה אסוציאטיבית וקומוטטיבית, ודיסטריבוטיבית ביחס לחיבור. לכן היא הופכת את מרחבי הפונקציות שבהן היא מוגדרת לאלגברה קומוטטיבית. הסגירות ביחס לפעולת הקונוולוציה תלויה באוסף הפונקציות: הקונוולוציה של פונקציות רציפות היא רציפה; הקונוולוציה של פונקציות אינטגרביליות היא אינטגרבילית. פונקציית דלתא של דיראק, שאינה פונקציה, משמשת כאיבר יחידה: .

הנגזרת של קונוולוציה מקיימת:

משפט הקונוולוציה

משפט הקונוולוציה קובע שהתמרת פורייה של קונוולוציה בין שתי פונקציות היא מכפלת ההתמרות שלהן: , כאשר מסמלת הפעלת התמרת פורייה והקבוע משתנה בהתאם לנרמול ההתמרה.

המשוואה ההפוכה היא: .

כמו כן, ניתן לכתוב: . משפט הקונוולוציה שימושי מאד משום שהפעלת מכפלה (אף לאחר חישוב התמרות פורייה) מסובכת הרבה פחות מאשר חישוב הקונוולוציה לפי הגדרתה, וכך היא מחושבת באופן נומרי. משפטים מקבילים קיימים עבור התמרת לפלס והתמרת Z.

שימושים

ראו גם

קישורים חיצוניים