תהליך סטציונרי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
תהליך סטציונרי למעלה, ותהליך לא סטציונרי למטה

במתמטיקה וסטטיסטיקה, תהליך סטציונרי (או תהליך סטציונרי במובן הצר) הוא תהליך סטוכסטי אשר צפיפות הפילוג המשותפת אינה משתנה בהזזה בזמן. כתוצאה מכך, פרמטרים כגון תוחלת ושונות, אם הם קיימים, גם לא משתנים בזמן.

סטציונריות משמשת ככלי לניתוח סדרה עתית, שבה הדגימות לעיתים הופכות סטציונריות; לדוגמה, מידע כלכלי הוא לרוב עונתי ו/או תלוי ברמת מחירים אי-סטציונרית. סוג חשוב של חוסר סטציונריות (או אי-סטציונריות) שלא כולל צורה מגמתית מובהקת הוא התהליך הציקלוסטציונרי.

הגדרה

פורמלית, יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{X_t\right\}} תהליך סטוכסטי ויהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{X}(x_{t_1 + \tau}, \ldots, x_{t_k + \tau})} פונקציית הצטברות של הפילוג המשותף של בזמנים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1 + \tau, \ldots, t_k + \tau} . אזי, נאמר ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{X_t\right\}}   הוא תהליך סטציונרי במובן הצר אם ורק אם, עבור כל , כל  וכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1, \ldots, t_k} ,

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{X}(x_{t_1+\tau} ,\ldots, x_{t_k+\tau}) = F_{X}(x_{t_1},\ldots, x_{t_k}).}

כלומר הזזה ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} לא משפיעה על  הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_X(\cdot)}   הפילוג המשותף.

צורות חלשות יותר של סטציונריות

סטציונריות במובן הרחב

צורה חלשה יותר של סטציונריות שנמצאת בשימוש בעיבוד אותות ידועה כסטציונריות במובן הרחב (wise-sense stationary או WSS). סטציונריות במובן הרחב דורשת שרק המומנט הראשון והאוטוקוואריאנס לא יהיו תלויים בזמן. כל תהליך סטציונרי במובן הצר הוא גם סטציונרי במובן הרחב.

אז, תהליך סטוכסטי בזמן רציף (x(t סטציונרי במובן הרחב מקיים את התכונה הבאה עבור התוחלת שלו:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{E}[x(t)] = m_x(t) = m_x(t + \tau) \,\, \text{ for all } \, \tau \in \mathbb{R}}

ועבור פונקציות האוטקוואריאנס שלו:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{E}[(x(t_1)-m_x(t_1))(x(t_2)-m_x(t_2))] = C_x(t_1, t_2) = C_x(t_1 + (-t_2), t_2 + (-t_2)) = C_x(t_1 - t_2, 0).}

התכונה הראשונה אומרת שהפונקציה (mx(t חייבת להיות קבועה. התכונה השנייה שפונקציית האוטוקוואריאנס תלויה רק בהבדל בין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1} ו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_2} , וצריך להיות פונקציה של משתנה אחד ולא שניים. לכן, במקום לכתוב,

הכתיב המקוצר הוא

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_x(\tau) \,\! \mbox{ where } \tau = t_1 - t_2.}

זה גם אומר שהאוטוקורלציה תלויה רק ב , כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\! R_x(t_1,t_2) = R_x(t_1-t_2) = R_x(\tau)}