תכסיס מעורב

בתורת המשחקים, תכסיס מעורב (או אסטרטגיה מעורבת) הוא התפלגות הסתברות על אוסף התכסיסים. לעיתים קרובות דרך פעולה כזו מבטיחה לשחקן שמשחק את התכסיס המעורב תוחלת רווח גדולה יותר מאשר בחירה ודאית בתכסיס אחד.

הגדרה מתמטית

בניסוח מתמטי, במקרה שבו יש מספר סופי של תכסיסים, אם $\ S=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ היא קבוצת התכסיסים של שחקן כלשהו, תכסיס מעורב הוא n-יה $\ P=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})$ כך שמתקיים:

$\forall i:0\leq p_{i}\leq 1(1$

$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1(2$

התכסיס המעורב הוא משתנה אקראי השווה לכל אחד מהתכסיסים שבקבוצה בהסתברות המתאימה לו:

$P_{S}(s)={\begin{cases}p_{1},&{\text{if }}s=s_{1},\\p_{2},&{\text{if }}s=s_{2},\\...\\p_{n},&{\text{if }}s=s_{n}.\end{cases}}$

ניתן לראות תכסיס טהור כמקרה פרטי של תכסיס מעורב, שבו אחד המשקלים הוא 1 וכל השאר הם 0.

שימוש בתכסיסים מעורבים

על פי משפט נאש, בכל משחק מרובה משתתפים קיים שיווי משקל נאש, אם מרשים שימוש בתכסיסים מעורבים. קיימים משחקים בהם האסטרטגיה השולטת היא תכסיס מעורב. לדוגמה, אם שיחת טלפון בין שני חברים מתנתקת, נדרשת אסטרטגיה כדי להקים את השיחה מחדש. אם שניהם מתקשרים שוב, שניהם ייענו בקו תפוס. אם שניהם יחכו שהצד השני יתקשר, השיחה לא תתחדש. כך ששתי האסטרטגיות - תמיד להתקשר שוב ותמיד לחכות שהצד השני יתקשר - מביאות לכישלון, גם אם חוזרים עליהן מספר רב של פעמים. ללא שיטה מוסכמת מראש, לאף אחד מהצדדים אין עדיפות להתקשר או לחכות, ונאמר שהמשחק מצוי בשיווי משקל נאש. שני הצדדים יכולים להיחלץ מהמצב ללא תיאום בעזרת תכסיס מעורב: אם כל צד יטיל מטבע ויחליט באקראיות אם להתקשר או לחכות, יהיה רק סיכוי של חצי שהשיחה לא תתחדש, ויידרשו בממוצע רק שני ניסיונות כדי להקים את השיחה מחדש.

ראו גם

• מונחים בתורת המשחקים
• אסטרטגית התנהגות