תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי

תנאי הכרחי להתכנסות טורים אינסופיים הוא שהאיבר הכללי ישאף לאפס. באופן פורמלי: אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אז $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

שימוש

כאשר בודקים אם סדרה מתכנסת או מתבדרת, לרוב בדיקה זו נבדקת תחילה תנאי הכרחי זה, בשל קלות השימוש בו.

שלא כמו מבחני התכנסות, תנאי הכרחי להתכנסות אינו יכול להוכיח בעצמו שהטור מתכנס. זאת מהסיבה הפשוטה שמדובר בתנאי הכרחי אך לא בתנאי מספיק. לפיכך, הכיוון השני של המשפט אינו נכון. כלומר, לא ניתן לומר שאם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ אז $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס. כלומר, אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ זה לא מספיק כדי לומר אם הטור מתכנס או מתבדר. מאידך, בזכות הקונטרה פוזיציה מותר לומר כי אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ או$a_{n}$ מתבדרת, אז הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר.

דוגמה

הסדרה ההרמונית $a_{n}={\frac {1}{n}}$ היא דוגמה ידועה לסדרה שסכומה מתבדר, אף על פי שהאיבר הכללי שלה שואף לאפס. באופן כללי, לפי "מבחן ה-p" מתקיים עבור הטור ההרמוני המוכלל $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$ כי

• אם $p\leq 1$ אז הטור מתבדר.
• אם $0<p\leq 1$ אז הטור מתבדר לפי מבחן האינטגרל.
• $p>1$ אז הטור מתכנס לפי מבחן האינטגרל.

באופן זה ניתן לראות כי למרות שהאיבר הכללי שואף לאפס, הטור יכול להתכנס או להתבדר.

הוכחה

נוכיח כי אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס, אז $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

נגדיר את הסדרה $S_{n}$ כסדרת הסכומים החלקיים של הסדרה $a_{n}$. כלומר, $S_{n}=a_{1},a_{1}+a_{2},a_{1}+a_{2}+a_{3}\cdots$.

מההנחה ש-$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס נובע שהסדרה $S_{n}$ מתכנסת. כלומר קיים $L\in \mathbb {R}$ עבורו $\lim _{n\to \infty }S_{n}=L$.

נשים לב כי $S_{n}-S_{n-1}=(a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n})-(a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n-1})=a_{n}$, אזי:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(S_{n}-S_{n-1})=\lim _{n\to \infty }S_{n}-\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=L-L=0$

אז מטרנזיטיביות השוויון: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34230100תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי