קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י

במתמטיקה, מספר פיבונאצ'י ההופכי הוא הסכום של כל המספרים ההופכיים של מספרי פיבונאצ'י:

$\psi =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_n}=\sqrt{5}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\varphi }^{-n}-(-\varphi {)}^{-n}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\cdots$

כאשר $\varphi$ יחס הזהב, אליו שואפת מנת כל שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים.

על־פי תנאי ההתכנסות של קושי, הטור מתכנס וערכו

$\psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots$

ביל גוספר מצא אלגוריתם לקירוב מהיר של המספר אשר מספקת $O(k^2)$ ספרות (משום שסדרת פיבונאצ'י מביא $O(k)$ ערכים עבור k ערכים).

זהו מספר אי-רציונלי. עובדה זו הושערה על ידי פאול ארדש ורונלד גראהם והוכחה בשנת 1989 על ידי ריצ'רד אנדרה-ג'נין.

השבר המשולב של המספר הוא:

$\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ].$