סדרה הנדסית

במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהיחס בין כל שני איברים סמוכים (או מנה של כל שני איברים עוקבים) היא קבועה. במילים אחרות, ניתן לחשב כל איבר בסדרה על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע $q$ (מנת הסדרה). סדרה הנדסית קרויה כך, משום שכל איבר בה הוא הממוצע ההנדסי של האיברים הקודם והעוקב לו.

סדרה הנדסית מוגדרת לפי שני מאפיינים:

• $a_1$ – האיבר הראשון שלה
• $q$ – מנת הסדרה (הקבועה לכל אורכה)

משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם $a_1$ הוא האיבר הראשון ו-$q$ היא מנת הסדרה, האיבר ה-$n$-י ($a_n$) נתון על ידי הנוסחה: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

סכום סדרה הנדסית

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה-$n$-י (כולל) ($S_n$) באמצעות הנוסחה: $S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}$.

דוגמה לסדרה הנדסית, שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן, שסכום הסדרה הוא: $S_n=\frac{a_1\cdot (q^n-1)}{q-1}=\frac{2\cdot (3^5-1)}{3-1}=\frac{2\cdot 242}{2}=242$

הוכחת הנוסחה:

על פי הגדרת סדרה הנדסית: $S_n=a_1+a_2+...+a_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1}$

וכן, אם נוסיף איבר אחד נוסף לסכום: $S_{n+1}=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1}+a_1{q}^n$

ניתן לראות כי כמעט כל האיברים משותפים, ולכן, אם נחסר משוואה אחת מן השנייה נקבל:

$S_{n+1}-S_n=a_1{q}^n$

והרי $S_{n+1}$ אינו אלא $a_1+q\cdot S_n$

(כי $a_1\cdot q=a_2$, $a_2\cdot q=a_3$ ו- $a_n\cdot q=a_{n+1}$),

ולכן:

$S_{n+1}-S_n=a_1+q{S}_n-S_n=a_1+S_n(q-1)$

נציב במשוואה $S_{n+1}-S_n=a_1{q}^n$, ונקבל:

$a_1+S_n(q-1)=a_1{q}^n$

$S_n(q-1)=a_1{q}^n-a_1$

$S_n(q-1)=a_1(q^n-1)$

נחלק את האגף הימני והשמאלי ב- $(q-1)$ (הערה: עבור המקרה הפרטי $q=1$, בו תיווצר חלוקה (אסורה) באפס, הסדרה ההנדסית תהיה גם סדרה קבועה שכל איבריה זהים (כפל ב-1, איבר היחידה בפעולת הכפל), ועבורה נוסחת הסכום מאד פשוטה לחישוב: $S_n=n\cdot a_1$), נקבל את הנוסחה:

$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

טור הנדסי

ערך מורחב – סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מנוסחת סכום סדרה הנדסית ניתן לראות, שאם $|q|<1$, גם אם נסכום אינסוף איברים, סכום הסדרה יהיה סופי (כלומר, מתכנס למספר מסוים), כיוון שככל ש-$n$ גדול יותר, האיבר $a_n$ שואף לאפס.

לכן, סכום הטור האינסופי הוא $S_{\mathrm{\infty }}=a_1\cdot \frac{\stackrel{0}{\overbrace{q^n}}-1}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}$. סדרות אינסופיות שסכומן סופי נקראות טורים מתכנסים, ויש להן חשיבות גדולה במתמטיקה. בפרט, התכנסות סכומה של הסדרה ההנדסית היא בעלת חשיבות רבה, שכן ישנם מבחני התכנסות לטורים, שמתבססים על היכולת להשוות טור אינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.

ראו גם

• סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת
• סדרה חשבונית
• סדרה כללית
• טור (מתמטיקה)
• נוסחת נסיגה
• סכום אינסופי

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0