דטרמיננטת דודונה

בתורת החוגים, דטרמיננטת דודונה היא הכללה של הדטרמיננטה ממטריצות מעל חוגים קומוטטיביים, אל מטריצות מעל חוג מקומי כלשהו (לרבות שאינו קומוטטיבי). הדטרמיננטה נקראת כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'ן דודונה שהמציא אותן ב-1943.

לכל חוג קומוטטיבי F, הדטרמיננטה היא הומומורפיזם ${\mathrm{GL}}_n(F)\to F^{\times }$ מחבורת המטריצות ההפיכות אל החבורה הכפלית של F. אם D חוג לא קומוטטיבי לא קיימת פונקציה כזו. במקומה, אם R חוג מקומי (בפרט: אם R חוג פשוט, ובמיוחד חוג עם חילוק), קיימת פונקציה יחידה אל האבליזציה, $\det :{\mathrm{GL}}_n(R)\to R^{\times }/[R^{\times },R^{\times }]$, המקיימת את התכונות הבאות:

1. אם $A^{\prime }$ מתקבלת מהוספת כפולה (שמאלית) בסקלר של שורה אחת לשורה אחרת במטריצה $A$, אז $\det (A^{\prime })=\det (A)$;
2. אם $A^{\prime }$ מתקבלת מהכפלת שורה של המטריצה $A$ בקבוע a, אז $\det (A^{\prime })=a\det (A)$;
3. $\det (I)=1$.

הדטרמיננטה הזו כפלית, מחליפה סימן תחת החלפת שורות, ואינה מושפעת משחלוף המטריצה. אם R חוג קומוטטיבי (מקומי), כגון שדה, אז זו הדטרמיננטה המוכרת מאלגברה לינארית.

מקורות

• J. Rosenberg, Algebraic K-Theory and its applications, section 2.2.