האינוולוציה הסימפלקטית

באלגברה לינארית, האינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות מסדר $2m\times 2m$ היא ההעתקה ${\mathrm{M}}_{2m}(F)\to {\mathrm{M}}_{2m}(F)$ המוגדרת לפי ${\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)}^s=\left(\begin{array}{cc}{D}^t& -B^t\\ -C^t& A^t\end{array}\right)$, כאשר $A,B,C,D$ הם בלוקים בגודל $m\times m$ במטריצה, ו-$X^t$ מסמן את המטריצה המשוחלפת של הבלוק $X$.

האינוולוציה הסימפלקטית של אלגברת המטריצות היא אינוולוציה, כלומר, העתקה שומרת חיבור והופכת סדר בכפל, שהפעלתה פעמיים נותנת את העתקת הזהות. בניגוד לאינוולוציה האורתוגונלית $X\mapsto X^t$ על ${\mathrm{M}}_n(F)$, שבה מרחב המטריצות הסימטריות הוא ממימד $\frac{n(n+1)}{2}$ ומימד מרחב המטריצות האנטי-סימטריות הוא מהמימד המשלים $\frac{n(n-1)}{2}$, באינוולוציה הסימפלקטית המצב הפוך.

כל אינוולוציה של אלגברה פשוטה מרכזית ההופכת להיות סימפלקטית לאחר הרחבת סקלרים לשדה פיצול, נקראת "אינוולוציה סימפלקטית". לדוגמה, האינוולוציה הסטנדרטית של אלגברת קווטרניונים $Q=F[x,y|yx=-xy,x^2=a,y^2=b]$, המוגדרת לפי $\overline{\alpha +\beta x+\gamma y+\delta xy}=\alpha -\beta x-\gamma y-\delta xy$, היא סימפלקטית (משום שמימד האברים הסימטריים הוא 1).

ראו גם

• אינוולוציה (תורת החוגים)