משפט היין

ישנם מספר משפטים בגאומטריה המיוחסים למתמטיקאי האמריקאי לארי היין (Larry Hoehn).

המשפט הראשון: הכללת משפט פיתגורס למשולש שווה-שוקיים

בהינתן משולש שווה-שוקיים שאורך השוק שלו $c$ , נעביר ישר באורך $a$ מזווית הראש אל הבסיס. הישר מחלק את הבסיס לשני קטעים שאורכיהם $b,d$ , אזי:

$c^2=a^2+bd$

במקרה הפרטי שבו הישר הפנימי הוא גובה (ולפי משפט ידוע בגאומטריה, גם תיכון), מתקיים $b=d$ ומתקבל משפט פיתגורס.

המשפט פורסם בשנת 2000, כאשר לארי היין בחן אחת מההוכחות הרבות למשפט פיתגורס. סביר להניח שהמשפט התגלה כבר בעבר, אך אין לכך תיעוד בספרות המתמטית.

הוכחת המשפט

יהי $ABC$ משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו $C$ ובסיסו $AB$ . הישר $CD$ מחלק את הבסיס לקטעים שאורכיהם $b,d$ . נעביר אנך $CE$ מהקודקוד לבסיס.

1. ממשפט פיתגורס במשולש $BCE$ מתקבל השוויון: $C{E}^2+B{E}^2=B{C}^2=c^2$
2. ממשפט פיתגורס במשולש $DCE$ מתקבל השוויון: $C{E}^2+D{E}^2=D{C}^2=a^2$
3. מחיסור בין השוויונות שהתקבלו בשלבים הקודמים נקבל: $c^2-a^2=B{E}^2-D{E}^2=(BE-DE)\cdot (BE+DE)=bd$

קישורים חיצוניים

• הכללת היין למשפט פיתגורס באתר cut-the-knot
• העמוד הראשון של המאמר על הכללת משפט פיתגורס שפרסם לארי היין בשנת 2000
• משפט נוסף על שמו של היין באתר mathworld