משפט דה גואה

פירמידה עם פינה ישרה

בגאומטריה, משפט דה-גואה הנו הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן פול דה-גואה דה-מלבס. המשפט קובע שאם בפרמידה יש פינה ישרה (שלוש הזוויות היוצרות את הפינה, הן זוויות ישרות, ראו תמונה משמאל) אז סכום ריבועי השטחים היוצרים את הפינה הישרה שווה לריבוע שטח הפאה הרביעית.

$S_{ABO}^2+S_{ACO}^2+S_{BCO}^2=S_{ABC}^2$

ניתן להכליל את משפט פיתגורס ואת משפט דה-גואה גם לממדים גבוהים יותר משלוש.

הוכחות

הוכחה גאומטרית

הוכחת משפט דה-גואה

נעביר אנך מהקודקוד $O$ החותך את הפאה $ABC$ בנקודה $H$ ואנך מ-$C$ החותך את הישר $AB$ בנקודה $K$ ($CK$ עובר דרך $H$).

אזי מתקיים: $\frac{HK}{OK}=\frac{OK}{CK}$ (כי שני הביטויים מייצגים את קוסינוס הזווית שבין המישורים $AOB,ACB$).

מהשוויון הקודם נקבל כי $S_{ABC}\cdot S_{AHB}=\frac{CK\cdot AB}{2}\cdot \frac{HK\cdot AB}{2}=S_{AOB}^2$ .

באותו אופן מראים כי

$\begin{array}{rl}{S}_{ABC}\cdot S_{BHC}& =S_{BOC}^2\\ S_{ABC}\cdot S_{AHC}& =S_{AOC}^2\end{array}$

לאחר סיכום שלושת השוויונות הנ"ל ומכיוון ש-$S_{AHB}+S_{BHC}+S_{CHA}=S_{ABC}$ נקבל:

$S_{ABO}^2+S_{ACO}^2+S_{BCO}^2=S_{ABC}^2$

הוכחה אנליטית

נצייר מערכת צירים קרטזית בשלושה ממדים. נסמן: $OA=a,OB=b,OC=c$ . נזהה את הנקודה $O$ עם ראשית הצירים ואת הנקודות $A,B,C$ עם הווקטורים $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ .

שטח המשולש $ABC$ שווה למחצית המכפלה הוקטורית של הווקטורים $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ ולכן:

$S_{ABC}^2={\left(\frac{\Vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\Vert }{2}\right)}^2=\frac{\Vert (bc,ac,ab){\Vert }^2}{4}=\frac{b^2{c}^2+a^2{c}^2+a^2{b}^2}{4}=S_{BOC}^2+S_{AOC}^2+S_{AOB}^2$

קישורים חיצוניים

• משפט דה גואה, באתר MathWorld (באנגלית)
• הרחבה של משפט פיתגורס למרחב מממד 3 ויותר