בעיית קורוש

בעיית קורוש היא בעיה בתורת החוגים, העוסקת באלגברות אלגבריות נוצרות סופית. את הבעיה העלה אלכסנדר קורוש באנלוגיה לבעיית ברנסייד מתורת החבורות, והיא שואלת האם אלגברה אלגברית נוצרת סופית היא בהכרח מממד סופי. לשאלה זו, כלשונה, יש פתרון שלילי, אך התשובה לחלק מן הוריאציות עדיין אינה ידועה.

אלגברה קומוטטיבית הנוצרת על ידי מספר סופי של איברים אלגבריים, היא בעלת ממד סופי. תכונה זו אינה נכונה באלגברות לא-קומוטטיביות (האלגברה הנוצרת על ידי איברים x,y המקיימים $x^2=y^2=0$ היא בעלת ממד אינסופי), ולוז הבעיה, אם כך, הוא באופן שבו האלגבריות של כל האיברים אמורה לצמצם את הממד.

אם אלגברת החבורה של חבורה G היא אלגברית, אז החבורה מפותלת (ההפך אינו נכון). במובן זה, בעיית קורוש על אלגברות חבורה חלשה מבעיית ברנסייד, העוסקת בחבורה נוצרת סופית שכל אבריה בעלי סדר סופי.

יבגני גולוד בנה, בעזרת למת גולוד-שפרביץ', אלגברה נילית נוצרת סופית בעלת ממד אינסופי (1964). זוהי דוגמה נגדית לבעיית קורוש, משום שכל איבר נילי הוא אלגברי. דוגמה חזקה יותר, בעלת ממד גלפנד-קירילוב סופי, נבנתה על ידי Lenagen וסמוקטונוביץ'.

מאידך, בעיית קורוש עדיין פתוחה עבור חוגים עם חילוק (וכל חוג אלגברי ללא מחלקי אפס הוא כזה). אפילו ללא הנחת האלגבריות, לא ידועה אלגברת חילוק נוצרת סופית ממימד אינסופי. בעיה זו נקראת בעיית Latyshev ובשנת 2015 הכריזו אליהו ריפס ואלכסיי קנאל-בלוב על קיומה של אלגברת חילוק, שהחבורה הכפלית שלה נוצרת סופית, והיא לכן משמשת בפרט כפתרון חיובי לבעיית Latyshev.

קפלנסקי הראה שלבעיית קורוש פתרון חיובי עבור אלגברה עם זהויות. פתרונו הקומבינטורי של Shirshov לאותה בעיה מכסה גם אלגברות אלטרנטיביות ואלגברות ז'ורדן.