נוסחת סטירלינג

עבור $x$ גדול, $\ln (x!)$ מתקרב ל־$x\ln (x)-x$

נוסחת סטירלינג (על-שם המתמטיקאי הסקוטי ג'יימס סטירלינג) היא קירוב מתמטי לערך של $n!$ (במילים: $n$ עצרת) עבור ערכים גדולים של $n$ .

$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$

זוהי נוסחה אסימפטוטית בשימוש בסימון אסימפטוטי, ופירושה שקיים הגבול

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1$$

כתוצאה מכך $\ln (n!)\approx n(\ln (n)-1)$ .

בגרסה כללית יותר, הנוסחה נותנת הערכה לפונקציית גמא $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$ המהווה הרחבה של פונקציית העצרת.

משפט: קיימת פונקציה ממשית $\eta :(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}$ המקיימת $\mathrm{\Gamma }(x)=\sqrt{2\pi }{x}^{x-\frac{1}{2}}{e}^{-x}{e}^{\eta (x)}0<\eta (x)<\frac{1}{12x}$ עבור $n$-ים גדולים $e^{\eta (n)}\approx 1$ ולכן $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!\approx \sqrt{2\pi }{n}^{n-\frac{1}{2}}{e}^{-n}$ . כפל של שני האגפים ב-$n$ ייתן את הנוסחה ל-$n!$ .

פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.